$n$th poderes en el p-adics

Question

Supongamos $K$ $p$- ádico de campo finito (extensión de la $p$-adics), y deje $n$ ser cualquier número entero (independiente de lo $p$ es). Definir $U$ a ser el conjunto de todos los $x$ $K$ tal que $|x| = 1$ que $x = y^n$ algunos $y$$K$. Me gustaría mostrar que $U$ es un conjunto abierto y que como un grupo multiplicativo $U$ ha finito índice en el grupo de elementos de $K$ norma $1$. ¿Cuál es la mejor manera de ver por qué esto es cierto (suponiendo que sea)?

Yo más o menos tiene una idea de por qué esto es.. en el $p$-ádico caso, usted puede probar el $n$th poderes son de limitada índice en ${\bf Z}_{p^l}$ por cada $l$ y, a continuación, utilizar un proceso inverso a la limitación de tipo de argumento como $l$ va al infinito para conseguir esto por $K = {\mathbb Q_p}$, y creo que un argumento análogo con poderes de un uniformizer en lugar de potencias de $p$ debe trabajar para general $K$. Pero sigo pensando que esto debe ser algo conocido resultado o algo que sigue rápidamente de un conocido resultado. Así que pensé en tirar esto a cabo.

Answer 1

Hay un montón de maneras de ver esto. Mi método preferido es la siguiente:

Lo que quiero mostrar es que si $x \equiv 1 \bmod \pi^N$ lo suficientemente grande para $N$ $x$ $n$th poder; aquí $\pi$ es uniformizer. (Esto muestra que $U$ contiene todos los $x$ que $\equiv 1 \bmod \pi^N$, y por lo tanto está abierto, como lo desea).

Así, sólo tiene que utilizar la clásica fórmula binominal: escrito $x = 1 + \pi^N y,$ tenemos $$x^{1/n} = (1 + \pi^N y)^{1/n} = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{n}(\frac{1}{n} - 1) \cdots (\frac{1}{n} - i + 1) \frac{\pi^{N} y^i}{i !}.$$ El denominador de la $i$th término es (acotada arriba por) $n^i i!$, por lo que siempre que $N$ es lo suficientemente grande, la relación $\dfrac{\pi^{N i}}{n^i i!}$ tienden a cero $\pi$-adically, y por lo tanto nuestra serie. Es fácil argumentar que esta serie de hecho converge a un $n$th raíz de $x$, según se requiera.

Un buen ejemplo para pensar es en el caso de $n = 2$$K = \mathbb Q_p$, en primer lugar cuando $p$ es impar, y luego, cuando $p = 2$. En el primer caso, usted debe encuentra que la $x \equiv 1 \bmod p$ es un cuadrado, mientras que en el segundo caso, se le encontrar que la condición de $x \equiv 1 \bmod 8$ es necesario.

Answer 2

Me gusta Matt E de la respuesta primaria y atractiva de ver que $U^N$ ha finito índice en $U$ todos los $N$. (Aquí estoy, escribiendo $U$ para el grupo de la unidad de $\mathcal{O}_K^{\times}$$K$$U^N = \{x^N \ | \ x \in U\}$. Sólo quiero remarcar que no es así mucho más difícil dar una fórmula general para el índice de $[U:U^N]$ en el caso general (incluyendo los campos de la región de característica positiva $p$, mientras $p \nmid N$).

La respuesta es que si $v$ es la normalizado (es decir, $\mathbb{Z}$valores) valoración en $K$ $q$ es la cardinalidad de los residuos de campo, a continuación,

$$[U:U^N] = q^{v(N)} \ \# \mu_N(K).$$

Este es el Teorema de 12 en estas notas. El tratamiento sigue Lang, la Teoría Algebraica de números. (Tal vez vale la pena mencionar que el argumento es un poco complicado, pero completamente primaria.)

Deje $U_n = \{x \in U \ | \ x \equiv 1 \pmod{\mathfrak{p}^n} \}$, por lo que el $U_n$'s son un cofinal sistema de abrir los subgrupos de $U$. En otras palabras, para un subgrupo de $U$ a de ser abierto, es necesario y suficiente que contenga $U_n$ algunos $n$. Queremos mostrar que $U^N$ está abierto. Pero la prueba del teorema anterior se procede a mostrar que para todo lo suficientemente grande $r$,

$$ U_{r+v(N)} = U_r^N \subset U^N,$$

así que, de hecho, $U^N$ está abierto. Por otra parte, ya que cada subgrupo $H$ $U$ de índice finito $N$ contiene $U^N$, se deduce que cada finito índice subgrupo de $U$ está abierto.

Sin embargo, otro enfoque es desarrollar la teoría del logaritmo como en el Ejercicio 5.3 de la loc. cit. para dar, para todos lo suficientemente grande $n$, un isomorfismo topológico de los grupos de $U_n$ para el grupo aditivo $(\mathcal{O}_K,+)$. Esto también implica que cada una de las $U^N$ es abierto y finito de índice en $U$.