Con suma derecha de Riemann para evaluar el límite de $ \frac{n}{n^2+1}+ \cdots+\frac{n}{n^2+n^2}$

Question

Debo demostrar que % $ $$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+4}+\frac{n}{n^2+9}+\cdots+\frac{n}{n^2+n^2}\right)=\frac{\pi}{4}$esto parece que puede ser resuelto con sumas de Riemann, para proceder:

\begin{align*} \lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+4}+\frac{n}{n^2+9}+\cdots+\frac{n}{n^2+n^2}\right)&=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^2+k^2}\\ &=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n}(\frac{1}{n})(\frac{n^2}{n^2+k^2})\\ &=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n}(\frac{1}{n})(\frac{1}{1+(k/n)^2})\\ &=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n}f(\frac{k}{n})(\frac{k-(k-1)}{n})\\ &=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^2}dx=\frac{\pi}{4} \end{align*}

donde $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$. ¿Es esta correcta, hay algún paso que no tengo claro?

Answer 1

Aviso, tenemos $$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+4}+\frac{n}{n^2+9}+\dots +\frac{n}{n^2+n^2}\right)=\lim_{n\to \infty}\sum_{r=1}^{n}\frac{n}{n^2+r^2}$ $

$$\lim_{n\to \infty}\sum_{r=1}^{n}\frac{n}{n^2+r^2}=\lim_{n\to \infty}\sum_{r=1}^{n}\frac{\frac{1}{n}}{1+\left(\frac{r}{n}\right)^2}$$ Let, $\frac{r}{n}=x\implies \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}=dx\to 0$

$$\text{upper limit of x}=\lim_{n\to \infty }\frac{n}{n}=1$ $ $$\text{lower limit of x}=\lim_{n\to \infty }\frac{1}{n}=0$ $ Usando integración con límites adecuados, por lo tanto, obtenemos

$$\lim_{n\to \infty}\sum_{r=1}^{n}\frac{\frac{1}{n}}{1+\left(\frac{r}{n}\right)^2}= \int_ {0}^{1}\frac{dx}{1+x^2}$$ $$=\left[\tan^{-1}(x)\right]_{0}^{1}$$ $$=\left[\tan^{-1}(1)-\tan^{-1}(0)\right]$$ $$=\left[\frac{\pi}{4}-0\right]=\frac{\pi}{4}$$

Answer 2

Sí, lo que has escrito es correcto.

Creo que su relato sería más limpio si lo menciona explícitamente el antiderivative $$ \int \frac{1}{1 + x^2} dx = \arctan x,$ $ que lo hace totalmente claro donde $\frac{\pi}{4}$ viene desde el final.