Cómo encontrar los valores propios y la forma canónica de Jordan de esta matriz

Question

Pregunta:

que $a_{i,j}\in R,A=(a_{i,j})_{n\times n} $ y $a_ {i, j} =\begin{cases} 1&i+j\in\{n,n+1\}\\ 0&i+j\notin\{n,n+1\} \end{casos} $

que es lo que significa: A =\begin{bmatrix} 0&0&0&\cdots&0&1&1\\ 0&0&0&\cdots&1&1&0\\ 0&0&\cdots&1&1&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ 0&1&1&\cdots&0&0&0\\ 1&1&0&\cdots&0&0&0\\ 1&0&0&\cdots&0&0&0 \end{bmatrix} _ {n n\times} de $$$ $

Problema (1): Encontrar la forma canónica de Jordan de $A$.

Sé que esta matriz de Jordan es %#% $ #%

donde $$diag(\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n})$ es valor propio

Pero esta clave de problema encontrar el valor propio es difícil,

Gracias you.maybe este problema no es fácil, pero espero ver alguien puede resolverlo. ¡Muchas gracias!

Answer 1

Os muestro a continuación que los autovalores de a $A$ son exactamente los números $-2\cos\big(j\frac{2\pi}{2n+1}\big)$ $1\leq j\leq n$. Lo que hace que todo el trabajo es el identidad $2\cos(\theta)\cos(k\theta)=\cos((k-1)\theta)+\cos((k+1)\theta)$.

Por desgracia, los vectores propios son un poco complicados para expresar directamente, la mejor presentación que he podido encontrar hasta ahora fue, sucesivamente, la aplicación de dos razonablemente simple cambio de bases.

Denotar por $\alpha$ el endomorfismo de ${\mathbb R}^n$ canónicamente asociados a $A$, y por $(d_1,d_2,d_3, \ldots,d_n)$ de la base canónica de ${\mathbb R}^n$. Por lo tanto, han

$$ \alpha(d_j)= \left\lbrace\begin{array}{lcl} d_{n-j}+d_{n+1-j}, & \text{for} & j<n, \\ d_1, & \text{for} & j=n. \end{array}\right. \etiqueta{1} $$

Pongamos $z_1=d_1,z_2=d_2$, e $z_j=d_{j}-d_{j-2}$$j>2$. Así, hemos se define una nueva base ${\mathcal Z}=(z_1,z_2,z_3, \ldots,z_n)$, y para cualquier $j$ tenemos $d_j=\sum_{k\leq j, k \equiv j \ ({\sf mod} \ 2)} z_k$. Podemos deducir que

$$ \alpha(z_j)= \left\lbrace\begin{array}{lcl} \sum_{k=1}^n z_k, & \text{for} & j=1, \\ \sum_{k=1}^{n-1} z_k, & \text{for} & j=2, \\ -z_{n+2-j}-z_{n+3-j}, & \text{for} & j>2. \\ \end{array}\right. \etiqueta{2} $$

En otras palabras, la matriz de $\alpha$ en relación a la base $\mathcal Z$ es

$$ Z=\left(\begin{array}{ccccccccc} 1 & 1 & & & & \ldots & & & \\ 1 & 1 & & & & \ldots & & & -1 \\ 1 & 1 & & & & \ldots & & -1 & -1 \\ 1 & 1 & & & & \ldots & -1 & -1 & \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & 1 & & & -1 & \ldots & & & \\ 1 & 1 & & -1 & -1 & \ldots & & & \\ 1 & 1 & -1 & -1 & & \ldots & & & \\ 1 & & -1 & & & \ldots & & & \\ \end{array}\right) \etiqueta{3} $$

A continuación, vamos a definir una nueva base ${\mathcal W}=(w_1,w_2,w_3, \ldots,w_n)$, por poner

$$ w_j= \left\lbrace\begin{array}{lcl} z_{l+1}, & \text{for} & j=n-2l, l\geq 0 \\ z_{n+1-l}, & \text{for} & j=n-(2l+1),l\geq 1 \\ -(\sum_{k=1}^n z_k), & \text{for} & j=n-1. \\ \end{array}\right. \etiqueta{4} $$

Por construcción, no han $$ z_j= \left\lbrace\begin{array}{lcl} w_{n+2-2j}, & \text{when} & n+2-2j\geq 1 \\ w_{2j-(n+3)}, & \text{when} & 2j-(n+3)\geq 1 \\ -(\sum_{k=1}^n w_k), & \text{when} & j \text{ is the unique integer in } [\frac{n+2}{2},\frac{n+3}{2}]. \\ \end{array}\right. \etiqueta{5} $$

Podemos deducir que

$$ \alpha(w_j)= \left\lbrace\begin{array}{lcl} w_1+\sum_{k=3}^n w_k, & \text{for} & j=1, \\ -w_{j-1}-w_j, & \text{for} & 1 < j < n-1, \\ -w_{n-1}-2w_n, & \text{for} & j=n-1, \\ -w_{n-1}, & \text{for} & j=n. \end{array}\right. \etiqueta{6} $$

En otras palabras, la matriz de $\alpha$ en relación a la base $\mathcal W$ es

$$ W=\left(\begin{array}{cccccccccc} 1 & -1 & & & & \ldots & & & & \\ 0 & & -1 & & & \ldots & & & & \\ 1 & -1 & & -1 & & \ldots & & & & \\ 1 & & -1 & & -1 & \ldots & & & & \\ 1 & & & -1 & & \ldots & & & & \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & & & & & \ldots & -1 & & & \\ 1 & & & & & \ldots & & -1 & & \\ 1 & & & & & \ldots & -1 & & -1 & \\ 1 & & & & & \ldots & & -1 & & -1 \\ 1 & & & & & \ldots & & & 2 & \\ \end{array}\right) \etiqueta{7} $$

A partir de la identidad $2\cos(\theta)\cos(k\theta)=\cos((k-1)\theta)+\cos((k+1)\theta)$, (combinado con $\cos(-k\theta)=\cos(k\theta)$ $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \cos(k\theta)=-\frac{1}{2}$ cuando $\theta$ es un múltiplo de a $\frac{2\pi}{2n+1}$), vemos que para $1\leq j \leq n$, el vector

$$ v_j=\sum_{k=1}^{n} \cos\bigg(jk\frac{2\pi}{2n+1}\bigg)w_j $$

es un autovector de a $W^T$, asociado al autovalor $-2\cos\big(j\frac{2\pi}{2n+1}\big)$. Esto termina el problema.

Answer 2

Aunque Ewan Delannoy era más rápido que yo, :-) voy a seguir user1551 la respuesta.

Parece que el siguiente. Denota el determinante de la $n\times n$ matriz$xI-A$$q_n(x)$. Entonces se puede calcular el primer polinomios:

$q_1=x-1$

$q_2=x^2-x-1$

$q_3=x^3-x^2-2x+1$

$q_4=x^4-x^3-3x^2+2x+1$

$q_5=x^5-x^4-4x^3+3x^2+3x-1$

$q_6=x^6-x^5-5x^4+4x^3+6x^2-3x-1$

$q_7=x^7-x^6-6x^5+5x^4+10x^3-6x^2-4x+1$

La investigación de la descomposición de la determinante $|xI-A|$ por la primera fila, obtenemos la siguiente recurrencia:

$q_n=(x^2-1)q_{n-2}-xq_{n-3}$ por cada $n\ge 4$.

La adición de la integridad del polinomio $q_0\equiv 1$, se puede probar fácilmente que la recurrencia

$q_n=xq_{n-1}-q_{n-2}$ por cada $n\ge 2$.

La búsqueda de Google por estos polinomios sugiere que las raíces del polinomio $q_n$ $x_{k}=2\cos\frac{2k+1}{2n+1}\pi $ donde $k=0,\dots,n-1$ (pero no siempre) por $k=n$).

Interpretación geométrica (y Ewan Delannoy de la solución :-) ) sugieren para tratar de tomar como $q_n$ suma $s_n(x)=(-1)^n\sum_{j=-n}^n \cos jt,$ donde $t=\arccos (-x/2)$.

Podemos comprobar que el $s_n=q_n$ todos los $n\le 3.$ Deje $n\ge 2$. Entonces

$$s_n(x)+s_{n-2}(x)= (-1)^n\sum_{j=-n}^n \cos jt+(-1)^{n-2}\sum_{j=-n+2}^{n-2} \cos jt= (-1)^n\left(\sum_{j=-1}^1 \cos jt + 2\sum_{j=2}^n \left( \cos jt+\cos (j-2)t \right)-\sum_{j=0}^0 \cos jt \right)= (-1)^n\left(-x+2\sum_{j=2}^n 2\cos (j-1)t\cos t \right)= (-1)^n\left(-x-2x\sum_{j=1}^{n-1} \cos jt \right)=s_{n-1}x.$$

Que es $s_n(x)+s_{n-2}(x)=xs_{n-1}x$. Por lo tanto, $s_n=q_n$ por cada $n$. Por último, nos muestran que la $s=s_n(2\cos\frac{2k+1}{2n+1}\pi)=0$$k=0,\dots,n-1$. Pero en este caso $$s= (-1)^{n-1}\sum_{j=-n}^n \cos j\left(\frac{2k+1}{2n+1}+1\right)\pi$$ is a multiple of the sum of the abscissas of vertices of a right $(2n+1)/d$-gon $P$ centered at the zero of the complex plane, where $d$ is a greatest common divisor of the numbers $k+n+1$ and $2n+1$. The rotational symmetry of $P$ implies that $se^{2d\pi i/(2n+1)}=s$. Therefore $s=0$.

PS. La búsqueda en Google por "x^5-x^4-4x^3+3x^2+3x-1" me dio sólo dos enlaces. Uno de los a *.jp sitio, y el otro a este MSE pregunta. El recurrente relaciones y las raíces de los polinomios $q_n$ son similares a estos de Chebyshev (y cyclotomic) polinomios, por lo que añadió relativa etiquetas a la pregunta. Pero en general, la fórmula trigonométrica para polinomios $q_n$ es mucho más compleja que la fórmula trigonométrica para polinomios de Chebyshev.

Answer 3

Edit: no he una respuesta, pero aquí están algunas observaciones. Tenga en cuenta que $A$ es real simétrica. Por lo tanto es diagonalisable. Además, $|\det(A)|=1$. Así, el Jordan en la forma de $A$ es una matriz diagonal con un valor distinto de cero entradas. Esto responde a su primera pregunta.

Para la segunda pregunta, parece que incluso para encontrar el polinomio característico de a $A$ no es fácil. Sin embargo, se observa que la $$ B_n=A^2=\pmatrix{2&1\\ 1&\ddots&\ddots\\ &\ddots&\ddots&\ddots\\ &&\ddots&2&1\\ &&&1&\color{red}{1}}. $$ Si podemos determinar los valores propios de a $B_n$, al menos sabemos que los valores absolutos de los valores propios de a $A$. Ahora, si llevamos a cabo de Laplace de expansión a lo largo de la primera fila de $xI_n-B_n$, vemos que el polinomio característico $p_n(x)$ $B_n$ está dada por la relación de recurrencia $p_n(x) = (x-2) p_{n-1}(x) - p_{n-2}(x)$,$p_0(x)=1$$p_1(x)=x-1$. Sin embargo, no estoy seguro de si hay alguna fórmula explícita para las raíces de $p_n$.

Algunos análisis cuidadoso muestra que cuando se $n=3k+1$, uno de los autovalores de a$A$$1$, pero esto no parece ser útil en la determinación de otros valores propios de a $A$.