Resolver $\lim_{n\to\infty}(n\int_0^{\pi/4}(\tan x)^ndx)$ ?

Question

$$f(x)=\lim_{n\to\infty}\biggl(n\int_0^{\pi/4}(\tan x)^n\,dx\biggr)$$ Lo intento de esta manera, $\tan x\ge x$ cuando $x\in(0,\frac\pi4)$ pero esto resulta ser $\tan x\ge0$ que es obvio incluso sin cálculo. Creo que se puede resolver utilizando la regla del apretón pero no encuentro un escalador adecuado para cumplir $A=g(x)\le f(x)\le h(x)=A$ cuando $n\to\infty$

$\color{red}{Edit}$ : Según el consejo de @Khallil, puedo resolver eso $f(n)+f(n+2)=\frac1{n+1}$ y es trivial que $\frac1{n+1}=f(n)+f(n+2)\le 2f(n)\le f(n-2)+f(n)=\frac1{n-1}$ . Así que $f(x)=\frac12$ .

Esto es fácil y rápido. Por cierto, ¿hay alguna otra idea?

$\color{red}{Edit[2]}$ : Encuentro que el método de @Byron Schmuland es especialmente útil en un tipo específico de problema. $$f(x)=\lim_{n\to\infty}\int_0^1\frac{x^n}{1+x}dx$$ por ejemplo, que $X_,...,X_n$ sean variables aleatorias i.i.d. con densidad $f(x)=1$ en $(0,1)$ , CDF(función de densidad acumulada) de $X$ es $F(x)=x$ . Ahora dejemos que $M=\max(X_1,\dots,X_n)$ su función de densidad es: $f_M(x)=nx^{n-1}$ para $x\in(0,1)$ Además, tampoco es difícil ver que $M\to1$ en la distribución como $n\to\infty$ . Así que, $$f(x)=\lim_{n\to\infty}\int_0^1\frac{x^n}{1+x}dx=\lim_{n\to\infty}\frac1n\int_0^1{f_M(x)\frac{x}{x+1}dx}=\lim_{n\to\infty}\frac1nE(\frac{M}{M+1})=0$$ Aunque este sencillo ejemplo se puede resolver por otras vías más fácilmente, pero esto nos da otra perspectiva.

Answer 1

Puede realizar el cambio de variable $u=\tan x$ para conseguir fácilmente $$ I_n:=\int_0^{\pi/4}(\tan x)^ndx=\int_0^1\frac{u^n}{1+u^2}du. $$ Entonces, es posible que sólo se integre por partes, $$ \begin{align} I_n=\int_0^1\frac{u^n}{1+u^2}du&=\left. \frac{u^{n+1}}{(n+1)}\frac{1}{1+u^2}\right|_0^1+\frac{2}{(n+1)}\int_0^1\frac{u^{n+2}}{(1+u^2)^2}\:du\\\\ &=\color{blue}{\frac12}\frac1{(n+1)}+\frac{2}{(n+1)}\int_0^1\frac{u^{n+2}}{(1+u^2)^2}\:du. \tag1 \end{align} $$ Observando que $$ 0\leq \int_0^1\frac{u^{n+2}}{(1+u^2)^2}\:du\leq \int_0^1 u^n\:du=\frac1{n+1} $$ da $$ 0\leq \frac{2}{(n+1)}\int_0^1\frac{u^n}{(1+u^2)^2}\:du\leq \frac{2}{(n+1)^2}. \tag2 $$ Entonces, combinando $(1)$ y $(2)$ lleva a

$$ \lim_{n \to +\infty}n\int_0^{\pi/4}\!(\tan x)^n\:dx=\lim_{n \to +\infty}n\:I_n=\color{blue}{{\frac12}}$$

como se sugiere.

Answer 2

Aquí hay otra idea, como usted pidió:

$$ \lim_{n \to \infty} n\int_0^{\pi/4} (\tan x)^n dx = \lim_{n \to \infty} \int_0^1 \frac{n u^n}{u^2+1} du $$ utilizando $ u= tanx $ y luego

$$ \lim_{n \to \infty} \int_0^1 \frac{n u^n}{u^2+1} du = \lim_{n \to \infty } \int_0^1 \frac{y^{\frac{1}{n}}}{1+y^{\frac{2}{n}}} dy $$ utilizando $ y= u^n$

Obsérvese que, en esta forma, hemos "absorbido" el $n$ que tiende a infinito de forma que podemos ver fácilmente lo que ocurre en el límite. Es decir, los exponentes tienden a cero, por lo que $y$ al exponente tiende a $1$ y por lo tanto

$$ \lim_{n \to \infty } \int_0^1 \frac{y^{\frac{1}{n}}}{1+y^{\frac{2}{n}}} dy = \int_0^1 \frac{dy}{1+1} = \frac{1}{2} \int_0^1 dy = \frac{1}{2} $$ y se obtiene el resultado tras una sencilla integral.

Answer 3

He aquí una solución basada en la estadística de órdenes, similar a mi respuesta aquí .

Dejemos que $X_1,\dots, X_n$ sean variables aleatorias i.i.d. con densidad $f(x)=1+\tan(x)^2$ en $(0,\pi/4)$ . La función de distribución de $X$ es $F(x)=\tan(x)$ para $0\leq x\leq \pi/4$ . Ahora dejemos que $M=\max(X_1,\dots, X_n)$ su función de densidad es $$f_M(x)=n F(x)^{n-1}f_X(x)=n\,(\tan(x))^{n-1}\,(1+\tan(x)^2)\text{ for }0\leq x\leq \pi/4.$$ Además, no es difícil ver que $M\to \pi/4$ en la distribución como $n\to\infty$ . Ahora $$\int_0^{\pi/4} n \tan(x)^n \,dx =\int_0^{\pi/4} {\tan(x)\over 1+\tan(x)^2}\, f_M(x) \,dx =\mathbb{E}\left({\tan(M)\over 1+\tan(M)^2}\right).$$

Desde $\tan(\pi/4)=1$ , esto converge a ${1\over 1+1}={1\over 2}$ como $n\to\infty$ .

Answer 4

Después de dejar $\tan(x)\mapsto x$ y utilizando el límite elemental $\lim_{n\to\infty} n \int_0^1 x^n f(x) \ dx = f(1)$ , donde $f(x)$ es continua, concluimos que $$\lim_{n\to\infty}\biggl(n\int_0^{\pi/4}(\tan x)^n\,dx\biggr)=\frac{1}{2}.$$