Definición de primer orden de no negativo en enteros

Question

Dada la estructura $(\mathbb Z,+,-,\times,0,1)$ ¿Cuál es la forma más fácil de escribir " $x\ge0$ " en esa estructura?

Sé que esto funciona: $$\exists a\exists b\exists c\exists d,a^2+b^2+c^2+d^2=x$$ debido al teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange, pero esto parece una forma innecesariamente complicada de hacerlo (porque el teorema es un resultado no trivial). ¿Existe una forma más sencilla?

Answer 1

Un número entero $d$ es $\ge 0$ si es un cuadrado perfecto o existen enteros $x$ y $y$ tal que $xy\ne 0$ y $x^2-dy^2=1$ . Aquí apelamos a la teoría de la ecuación de Pell en lugar del teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange. Podría decirse que es más complicado.

Answer 2

No conozco ninguna definición más elemental de $x\geq 0$ .

Puedes pensar en esta definición como una generalización de la definición obvia de $x\geq 0$ en $(\mathbb{R},+,-,\times,0,1)$ : $$\exists y\, y^2 = x.$$

El problema, por supuesto, es que no todos los elementos positivos de $\mathbb{Z}$ tiene una raíz cuadrada. $\mathbb{Z}$ es una estructura mucho más complicada que $\mathbb{R}$ y no es de extrañar que la teoría de los números no triviales se involucre cuando se empiezan a escribir fórmulas con cuantificadores en $\mathbb{Z}$ .