¿Existe alguna interpretación intuitiva de la compactificación?

Question

Obviamente, el título de la pregunta tiene un subtexto no especificado: intuitivo a mí .

Algunos antecedentes para orientar adecuadamente el debate: Tengo un amplio conocimiento, más cualitativo que cuantitativo, de la formulación lagrangiana del modelo estándar. Mi Relatividad General es bastante vaga. Tengo conocimientos de ciencia popular sobre la teoría de cuerdas, de donde procede esta pregunta en particular.

Tengo entendido que, para explicar ciertos aspectos de la teoría de cuerdas, se necesitan varias dimensiones adicionales a las 3+1 que observamos (¿posiblemente porque hay invarianzas gauge locales que sólo funcionan con dimensiones superiores? No estoy muy seguro de los detalles). Se supone que si estas dimensiones extra fueran en general similares a las tres espaciales que experimentamos, su presencia sería muy obvia, ya que incluso las leyes clásicas serían drásticamente diferentes a como son en realidad. Para conciliar esto, se dice que son compacto .

La cuestión se refiere a la compactación, en varios aspectos:

• ¿Existe un mecanismo específico por el que se cree que esto ocurre? En caso afirmativo, ¿es este mecanismo el mismo o está relacionado con el mecanismo del "espaciotiempo deformado" de la RG?
• ¿Pueden entenderse estas dimensiones compactas como variaciones de las dimensiones espaciales en todo menos en su geometría, o son fundamentalmente "diferentes"? Es decir, si se descompactaran sólo un poco, ¿podríamos empezar a observar partículas reales moviéndose en esas dimensiones?
• ¿Es el estado de una dimensión compacta similar al de las 3 dimensiones (espaciales) observadas poco después del Big Bang? (Esto parece enlazar con el nº 1, ya que tengo entendido que el pequeño tamaño del universo primitivo se debió a un espaciotiempo extremadamente deformado).

Algunos Agradecería que me respondiera con rigor matemático, pero con delicadeza, por favor :)

Answer 1

Advierto que mi comprensión de la teoría de cuerdas es aproximadamente del mismo nivel que la suya, es decir ciencia pop. Pero la noción de "compacto", tal y como yo la entiendo, es más o menos la que aparece en un libro de texto de topología: Las "dimensiones compactas" son secciones del espaciotiempo que están cerradas y delimitadas (para usar la descripción de compacto al estilo Heine-Borel, lo que podemos hacer puesto que los manifolds son un atlas de gráficos cada uno localmente como una copia de $\mathbb{R}^N$ ).

En $x,\,y,\,z$ Las dimensiones espaciales se consideran a menudo dimensiones "no compactas" porque una sección de constante $y,\,z,\,t$ en un gráfico es como la línea real: ambos extremos van hacia el infinito.

Por el contrario, una dimensión compacta sería aquella para la que la sección correspondiente es cerrada y acotada. Esto significa necesariamente que es homeomorfa a un círculo $\{e^{i\,\phi}|\,\phi\in\mathbb{R}\}$ . Usted podría correr a lo largo de la $\phi$ eje y eventualmente volverías a tu punto inicial. Y la distancia que tendrías que recorrer para volver a tu punto de partida en las dimensiones compactadas de la teoría de cuerdas es muy pequeña: así que la idea es que simplemente no las vemos desde nuestras escalas cotidianas.

Echa un vistazo a mi otro intento de escribir algo significativo sobre estas ideas aquí .

En realidad, no es descartable que las tres dimensiones espaciales de nuestra experiencia cotidiana también sean así, sólo que estamos hablando de distancias terriblemente grandes (de 10 a 100 billones de años luz) para que volvamos a nuestros puntos de partida si nos lanzamos al espacio y seguimos en la misma dirección. Según tengo entendido, esta idea parece cada vez menos probable desde que se observa que nuestro universo es globalmente muy plano.

"Plano" y "no compacto" son dos nociones relacionadas por la Teorema de Bonnet-Myers . Una variedad riemanniana o semiriemanniana con curvatura de Ricci positiva en todas partes es compacta. En la teoría de Lie, una idea relacionada es que un grupo de Lie con una forma de Killing definida negativa (y algunas otras condiciones complicadas) es compacto. El teorema de Myers proporciona un límite para el "diámetro" de la variedad en cuestión (cuanto más "plana" sea, más "grande" será) y el límite se satura sólo si la variedad es isométrica a una esfera de curvatura constante.

Véase un interesante debate en MathOverflow sobre cómo podría ser el grupo fundamental del Universo

Answer 2

Mis conocimientos de la teoría de cuerdas son someros, pero conozco los fundamentos de la reducción de Kaluza-Klein, en la que se basa la teoría de cuerdas. La dimensión compacta en la teoría de Kaluza-Klein es espacial, y el colector es $M\times S^1$ donde $M$ es el espaciotiempo de 4 dimensiones y $S^1$ el círculo. La dimensión extra se diferencia de las demás dimensiones espaciales en que corresponde a un vector de Killing y su radio es extremadamente pequeño, por lo demás es igual que cualquier otra dimensión espacial. La pequeñez del radio es tal que no podemos observar que las partículas se muevan en 4 dimensiones. Que la quinta dimensión corresponda a un círculo es sólo una suposición, no está relacionada de ninguna manera, que yo sepa, con la curvatura debida a la energía.

La introducción de la quinta dimensión es sólo una suposición que Kaluza hizo hace casi un siglo. Tiene el agradable efecto secundario de que la acción de Einstein-Hilbert con las suposiciones antes mencionadas en la dimensión 5 da como resultado la acción de Einstein-Hilbert más el término de Maxwell en la dimensión 4, lo cual muchos físicos piensan que es algo más que un truco matemático, lo suficiente como para que miles de artículos y carreras se hayan basado en ello.

Answer 3

La respuesta de Jerry Schirmer a la pregunta "¿Por qué son necesarias las dimensiones adicionales?" parece (hasta donde yo sé) dar una buena explicación de por qué las dimensiones compactas son compactas, desde el punto de vista de la QM. Creo que es más o menos equivalente a la idea de la RG de que la masa/energía crea el espacio y que la energía necesaria para crear un espacio grande en dimensiones superiores es tanta que simplemente no ocurre.