Mientras que trabaja hacia fuera de los Estados estacionarios de una partícula individual en un 3d caja potencial infinita ($V=0$ dentro de un ortoedro de dimensiones conocidas, $V=\infty$ en todas partes), me di cuenta de que tenía que asumir el wavefunction era separable en un producto de tres funciones, $\psi(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)$, para encontrar el $\psi$. ¿Por qué esto es así y bajo qué condiciones? ¿Qué me garantiza que puedo hacer esto? El texto que estoy siguiendo no es particularmente claro en esto.
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Julien N
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Sepration de variables es de hecho un tema delicado en ecuaciones diferenciales parciales. A partir de hoy no (en la medida de mi conocimiento) tienen una teoría completa sobre las condiciones que la hacen posible. La postura habitual es tener los teoremas de existencia y unicidad de las soluciones de un determinado PDE y el uso de algunos ansatz de separación de variables, mediante la búsqueda de una solución general, debemos tener una solución como luming comentó.
Hasta donde yo sé, para casos específicos tenemos rigurosa justificación sobre el uso de la separación de variables en coordenadas proporcionadas, los cuales están relacionados con el grupo de simetría que actúan en el PDE (como BumbsterDoofus dijo también en los comentarios). Una (un poco viejo) libro de explicar esto es Miller "la Simetría y la Separación de Variables" que usted puede encontrar en línea aquí http://www.ima.umn.edu/~miller/separationofvariables.html. Como se dice en el prefacio sabemos cómo justificar para algunas ecuaciones en derivadas parciales (especialmente la de menores dimensiones), pero no tenemos una teoría completa para todas las ecuaciones diferenciales nos gustaría considerar (por ejemplo, el tridimensional de la ecuación de onda). No sé de la evolución más allá de Miller en el libro, pero he buscado y no he encontrado cambios decisivos (pero que podría ser debido a mi ignorancia).
En cualquier caso, siempre y cuando usted está considerando enlazados a los estados no creo que usted debería estar preocupado acerca de esas cosas, la existencia y unicidad de teoremas, junto con ser capaz de proporcionar una solución general debería ser suficiente (yo estoy siempre sospechoso de dispersión de los estados becaude no son de cuadrado integrable y podría ser más sutil). Si usted no está satisfecho con esta respuesta, supongo que sería una gran pregunta en matemáticas stackexchange para preguntar por el estado de separación de variables, aunque creo que la respuesta se relaciona con el grupo de simetría de la PDE en cuestión, de todos modos, y podría ser una exageración de su contexto.
gath
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La lógica va como el siguiente.
Podemos adivinar la solución en forma de $X(x) Y(y) Z(z)$ para una partícula en 3 dimensiones de la caja. Podemos encontrar este tipo de soluciones. La pregunta es, ¿podemos faltar alguna solución?
La función de $X(x)$ es eigenfunction de auto-adjunto del operador $$H_x = -\frac{1}{2} \frac{ \partial^2}{\partial x^2} + V(x) \tag{1} $$ $V(x)$ es el potencial de la infinidad de la pared. Y lo mismo para $y,z$. Así se forma un conjunto completo de funciones de bajo adecuadas condiciones de frontera. Vamos a ampliar la forma general de la solución como $$ \psi(x,y,z) = \sum_{l} \sum_{m} \sum_{n} c_{lmn} X_l(x) Y_m(y) Z_n(z) \tag{2} $$
Desde $[H_x,H]=0$, el eigenfunction de un objeto en 3 dimensiones de la caja de formas simultánea eigenstate como eigenfunction de $H_x$. Podemos soltar $\sum_l$ e las $l$ dependencia en el coeficiente de expansión $c_{clm}$ en Eq. (2). Lo mismo se aplica a $y$$z$. Por lo tanto, la eigenfunction de la partícula en tres dimensiones de la caja puede ser escrito como $X(x) Y(y) Z(z)$ .
