¿Hay resultados sabidos sobre topologías de tal manera que cada punto está contenido sólo en un número finito de conjuntos abiertos (o barrios)?
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¿Demasiados anuncios?
pete
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1
Asume que cada punto está contenida en un número finito de conjuntos abiertos y denotan $O_{x}$ por la intersección de abrir los conjuntos que contengan $x$. A continuación, $O_{x}$ es abierto y $N$ es un barrio de $x$ fib $O_{x}\subset N$. Si la topología es $T_{1}$ $O_{x}=\left\{ x\right\} $ para cada $x$ y estamos tratando con la topología discreta. Esta en un conjunto finito (si no, entonces usted podría encontrar infinito abierto conjuntos que contienen $x$). Como Svinepels respuestas (yo era demasiado tarde) cada topología sobre un conjunto finito va a hacer, simplemente porque en ese caso el número de conjuntos es finito. Resultó que en el no-trivial caso (topologías sobre conjuntos infinitos) sólo topologías que no $T_{1}$ puede satisfacer las condiciones.
metkat
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21
Una clase que ha sido estudiado son los espacios de tal manera que cada punto tiene un menor barrio, sus espacios están entre ellos.
Para un espacio tan denotar el más pequeño barrio que contengan $x$$U_x$. A continuación, $x\le y\iff U_x\subset U_y$ define un poset (siempre que el espacio es $T_0$), y desde $U_x=\{y\colon y\le x\}$, la orden define la topología.
Algunos de los resultados que Svinepels alude a llevar a este más generales de configuración.
Estos espacios se consideró por primera vez Alexandroff[1] (llamados espacios discretos, "Der Begriff eines diskreten Raumes ist mit dem Begriff einer teilweise geordneten Menge identisch") y ahora se llaman Alexandroff espacios. Resultados sobre homotopy tipos y débil homotopy tipos de espacios finitos (algunas de ellas pueden ser más general, o se pueden realizar más ajustes generales sin problemas) están en Stong[2] y McCord[3]. He encontrado estas referencias a la derecha ahora mirando en la lista de referencias en Barmak y Minian[4]. Que a mi también encontrar esta página web Puede servir.
[1] P. Alexandroff, Diskrete Räume, Mat. Sb. (N. S.) 2 (1937), 501-518. http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=sm&paperid=5579&option_lang=eng
[2] R. E. Stong Finito de espacios topológicos Trans. Amer. De matemáticas. Soc., 123 (1966), pp 325-340 http://www.ams.org/journals/tran/1966-123-02/S0002-9947-1966-0195042-2/
[3] M. C. McCord Singular homología de grupos y homotopy grupos de espacios topológicos finitos El Duque De Matemáticas. J., 33 (1966), pp 465-474
[4] Jonathan Ariel Barmak, Elías Gabriel Minian, Simple homotopy tipos y finito de espacios, los Avances en las Matemáticas, Volumen 218, número 1, del 1 de Mayo de 2008, Páginas 87-104, ISSN 0001-8708, http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2007.11.019.
