totalmente acotado, completa $\implies$ compacto

Question

Muestran que una totalmente delimitada completa de espacio métrico $X$ es compacto.

Puedo usar el hecho de que secuencialmente compacto $\Leftrightarrow$ compacto.

Intento: Completa $\implies$ cada secuencia de Cauchy converge. Totalmente acotado $\implies$ $\forall\epsilon>0$, $X$ pueden ser cubiertos por un número finito de bolas de radio $\epsilon$. Estoy tratando de mostrar que todas las secuencias en $X$ tiene una larga que converge a un elemento en $X$. No veo cómo ir desde convergente secuencias de Cauchy y totalmente acotado a la larga convergente $in$ $X$.

Answer 1

Usted necesita demostrar que si $X$ es totalmente acotado, cada secuencia en $X$ tiene un Cauchy larga. Deje $\sigma=\langle x_n:n\in\mathbb{N}\rangle$ ser una secuencia en $X$. Para cada una de las $n\in\mathbb{N}$ deje $D_n$ ser un subconjunto finito de $X$ de manera tal que el abrir las bolas de radio $2^{-n}$ centrada en los puntos de $D_n$ portada $X$. $D_0$ es finito, así que hay un punto de $y_0\in D_0$ de manera tal que un número infinito de términos de$\sigma$$B(y_0,1)$. Vamos $$A_0=\{n\in\mathbb{N}:x_n\in B(y_0,1)\}\;,$$ so that $A_0$ is infinite. Now $D_1$ is finite, so there is a $y_1\en D_1$ such that $$A_1=\{n\in A_0:x_n\in B(y_1,2^{-1})\}$$ is infinite. Repeat: if $A_k$ is an infinite subset of $\mathbb{N}$, there must be a $y_{k+1}\en D_{k+1}$ such that $$A_{k+1}=\{n\in A_k:x_n\in B(y_{k+1},2^{-(k+1)})\}$$ es infinito, y el proceso puede continuar.

Ahora elija una estrictamente creciente secuencia $\langle n_k:k\in\mathbb{N}\rangle$ de los números naturales en forma tal que $n_k\in A_k$ por cada $k\in\mathbb{N}$. Puede usted demostrar que $\langle x_{n_k}:k\in\mathbb{N}\rangle$ es de Cauchy?