¿Por qué se suele suponer que los homomorfismos son funciones?

Question

Un homomorfismo de grupo suele definirse como una función $\phi$ tal que si $x * y = z$ entonces $\phi x \times \phi y = \phi z$ . Sin embargo, esto puede generalizarse. Podríamos definir que un homomorfismo de grupo es una relación $\phi$ tal que si $x * y = z$ y $(x,x') \in \phi$ y $(y,y') \in \phi$ y $(z,z') \in \phi$ entonces $x' \times y' = z'$ . Esto se reduce a la definición habitual en el caso en que $\phi$ es una función. Sin embargo, nunca he visto que se mencione esta generalización en ningún sitio. ¿Hay algún problema?

Mi opinión es que puede tener que ver con que las funciones tengan preimágenes que se comporten bien. En particular, si $f$ es una función, entonces $f^{-1}(A \cap B) = f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)$ . Si $f$ fuera simplemente una relación arbitraria, esta propiedad podría (¿fallaría?).

Así que mi pregunta es, ¿por qué se suele suponer que los homomorfismos son funciones? Nótese que no es una pregunta sobre homomorfismos de grupo específicamente.

Answer 1

La definición que propones de homomorfismos como relaciones no funciona cuando la relación $\phi$ no es una función, al menos si se asume razonablemente que $(e,e')\in\phi$ donde $e$ y $e'$ son los elementos de identidad de los dos grupos. Supongamos, por ejemplo, que $x$ está relacionada por $\phi$ a dos valores diferentes, digamos $(x,x')\in\phi$ y también $(x,x'')\in\phi$ . Entonces, aplicando su definición con $y,y',z$ y $z'$ igual a $e,e',x$ y $x''$ respectivamente, podríamos deducir de $x*e=x$ que $x'\times e'=x''$ lo cual es erróneo si $x'\neq x''$ .

En lugar de asumir que $(e,e')\in\phi$ se podría deducir un problema similar a partir de su definición más la suposición de que, para cada $y$ en el grupo de dominio, hay al menos un $y'$ en el grupo codominio con $(y,y')\in\phi$ .

Si quieres definir relaciones homomórficas, podrías definirlas razonablemente como subgrupos del producto directo de los grupos dominio y codominio.

Answer 2

En primer lugar, hay muchas categorías en las que los morfismos son funciones de cualquier tipo. Dicho esto, hay varias razones para considerar principalmente que los homomorfismos entre estructuras algebraicas son funciones y no relaciones (u otras cosas). Ilustraré sólo una. El grupo fundamental es un grupo asociado a cualquier espacio topológico $X$ con un punto base elegido $p\in X$ . A funciones continuas $(X,p)\to (Y,q)$ tal que $f(x)=y$ induce un homomorfismo de grupo entre los grupos fundamentales asociados. Los grupos fundamentales nos dicen mucho del espacio y de las posibles funciones continuas entre espacios. En este caso, la razón por la que queremos que los homomorfismos de grupo sean funciones especiales es que eso es lo que obtenemos de la construcción del grupo fundamental. La razón por la que la construcción del grupo fundamental asocia a una función continua un homomorfismo de grupo es que empezamos con un función . Entonces, puedes decir generalicemos eso también y en vez de hablar de funciones continuas $f:X\to Y$ hablemos de relaciones continuas. Aquí empiezan los problemas. Hasta cierto punto se puede hacer, pero la multivaluación realmente crea muchas dificultades (intenta incluso definir lo que debería significar para una relación ser continua). Y ni siquiera empecemos a intentar decir lo que significaría que una relación fuera diferenciable, holomórfica, etcétera.

Así que, aunque siempre se puede generalizar por generalizar, la cuestión es hasta qué punto es aplicable/relevante la teoría más general resultante a las situaciones de la vida real. En las ciencias, muchos fenómenos se modelizan mediante funciones, no mediante relaciones. Por tanto, necesitamos una buena teoría de las funciones. La teoría más general de las relaciones es (al ser una generalización) más débil, puede demostrar menos teoremas, por lo que al aplicarla a las funciones podría no dar resultados suficientemente sólidos.

Para concluir, se puede generalizar cualquier cosa, incluidas las funciones. Pero las funciones están en todas partes, así que hay que estudiarlas.

Answer 3

Por definición, los grupos son conjuntos con una estructura adicional. Tiene sentido definir los homomorfismos como funciones de conjunto que preservan esta estructura. Lo mismo ocurre con los espacios topológicos. Si quisiéramos, podríamos definir mapas continuos a través de la red de conjuntos abiertos de un espacio topológico, y esto es útil en algunos contextos, pero no en otros.

Una de las ventajas de utilizar funciones es que resulta fácil "apilar" estructuras. Por ejemplo, podemos poner una estructura de grupo en un espacio topológico y exigir que los mapas continuos sean también homomorfismos de grupo. Esto nos da la noción de grupo topológico, y fue trivialmente fácil definirlo porque utilizamos funciones de conjunto. Si insistiéramos en utilizar la red de conjuntos abiertos para los espacios topológicos y su relatio $\phi$ La simple definición de una estructura de este tipo sería probablemente un asunto tedioso e incómodo.

Answer 4

Su afirmación no es correcta. En la década de 1940 se inventó un marco muy general para lo que usted pregunta. Se llama teoría de categorías. A grandes rasgos, una categoría consiste en objetos y morfismos entre ellos que se comportan como funciones en cierto sentido.

Pero hay muchas categorías en las que los morfismos no son funciones. Por ejemplo, cada conjunto parcialmente ordenado es una categoría. Los elementos del conjunto son los objetos de la categoría. Y un morfismo entre $x$ y $y$ existe siempre que $x\leq y$ .

Los monoides son categorías con un solo objeto. En este caso, los elementos del monoide se identifican con los morfismos.

Hay muchos otros ejemplos de este tipo.