Convergencia de $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\sqrt{a_{n}}}{\ln\, n}(n^{a_{n}}-1)$

Question

¿Si $\sum_{n=2}^{\infty}a_n$ converge, entonces también converge esta serie? $$\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\sqrt{a_{n}}}{\ln\, n}(n^{a_{n}}-1)$$

Por favor verificar mi respuesta más abajo

Contraejemplo:

$$ a_ {n} =\begin{cases} \frac{1}{k^{2}} & n=k!^{k^{2}}\\ \\ 0 & \text{All other cases} \end{casos} $$

Cuando es igual a la suma de infinitos

$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}\cdot\frac{1}{2\, \ln\, k}\cdot(k!-1)$$

Answer 1

Sí, el contraejemplo es correcto, por lo que su solución es correcta.

Answer 2

Supone que $2\log k$ pero si es el denominador $\ln n$ $n=(k!)^{k^2}$, entonces el $\ln n=k^2\ln(k!)$. Puesto que esto es equivalente a $k^3\ln k$, el contraejemplo sostiene sin embargo.