operador diferencial en el colector

Question

Actualmente estoy tratando de entender la expresión local de un operador (pseudo)diferencial $$ \int_{R^n} e^{(x - y)\cdot \xi} \sigma(x,\xi) \, d \xi $$ en un colector $M$ (compacto y sin límites, digamos), donde $\sigma(x,\xi)$ como es habitual, es el símbolo del operador. (también se puede escribir como $$ \int_{R^n} e^{(x - y)\cdot \xi} a(x,y,\xi) \, d \xi $$ donde $a(x,y,\xi)$ pertenece a la misma clase de símbolos que $\sigma$ .)

ahora la imagen que tengo en mi cabeza es que la variable $(x,\xi)$ representa una coordenada local en el haz cotangente $T^*M$ . pero, al mismo tiempo, las variables $(x,y)$ son coordenadas locales para algún subconjunto $U \times V$ de $M \times M$ Me temo que estoy mezclando algo aquí.

Además, me preguntaba si el producto punto $$(x - y) \cdot \xi$$ en el término exponencial tiene algo que ver con el emparejamiento de elementos de $T^*M$ con elementos del haz tangente $TM$ ? algunas fuentes, por ejemplo, escriben el producto punto en términos de un braket, $$(x - y) \cdot \xi = \langle (x - y), \xi \rangle$$ lo que hace que esto sea aún más sugerente. pero me cuesta darle sentido a esto, no sé realmente cómo relacionarlo $(x - y)$ al haz tangente $TM$ , por lo que es muy probable que esta imagen sea errónea de todos modos.

Muchas gracias por sus comentarios.

Answer 1

A $\Psi$ DO $P$ en un colector compacto $M$ es (modulo operadores de alisado) una suma finita $P = \sum_k P_k$ donde cada $P_k$ está en coordenadas locales a $\Psi$ Seguir leyendo $\mathbb{R}^n$ con soporte compacto.

Cada $P_k$ tiene un símbolo $\sigma_k$ en $T^\ast \mathbb{R}^n$ . Agarrándolos juntos con un fijo la partición de la unidad da una función sobre $T^\ast M$ . Para que esto sea independiente de la partición de la unidad, tenemos que cotejar los símbolos de orden inferior, y así obtenemos el símbolo principal $[\sigma_P]$ de $P$ .

Ahora, dado un símbolo $\sigma$ en $T^\ast M$ ( no un símbolo principal, sino una función concreta sobre $T^\ast M$ que satisface las estimaciones necesarias en los gráficos locales), podemos construir un $\Psi$ DO $P$ en $M$ con el mismo símbolo principal, es decir, $[\sigma_P] = [\sigma]$ . Esto parece ser lo que quieres: Pasar del símbolo al correspondiente $\Psi$ DO definida por ella. Pero esta construcción es un poco técnica, ya que primero tenemos que definir la transformada de Fourier en una variedad. Los detalles para esto se pueden encontrar en, por ejemplo, Lawson, Michelsohn, Geometría del giro , Princeton University Press, 1989, al final del capítulo III, §3.