$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ continuo y $\lim_{h \to 0^{+}} \frac{f(x+2h)-f(x+h)}{h}=0$ $\implies f=$ constante.

Question

Deje $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ser una función continua con la propiedad de que

$$\lim_{h \to 0^{+}} \dfrac{f(x+2h)-f(x+h)}{h}=0$$ for all $x \in \mathbb{R}$. Prove that $f$ es constante.

Answer 1

Sugerencia: para un determinado $h$ uno tiene $${f(x + h) - f(x) \over h} = {f(x + h) - f(x + h/2) \over h} + {f(x + h/2) - f(x + h/4) \over h} + ....$$ $$= {1 \over 2}{f(x + h) - f(x + h/2) \over h/2} + {1 \over 4}{f(x + h/2) - f(x + h/4) \over h/4 } + ....$$ Usted realmente necesidad de la continuidad de $f(x)$ ya que el anterior. Ahora tome límites de $h$ va a cero en el sobre con cuidado y a la conclusión de ${\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0^+} {f(x + h) - f(x) \over h}}$ es siempre existe y es igual a cero. A continuación, utilice esta opción para mostrar las $f$ es constante.

Answer 2

Fix $\varepsilon>0$.
Asumir que existe $x$ tal que $f(x)$ es positivo. Considere la posibilidad de $h$, por lo pequeño, por lo que $f(x+2h)$ es positivo, ya que $f$ es continua no existe $h>0$ tal que $f(x+h) < f(x)+\varepsilon$
A continuación, $$f(x+2h)-f(x+h)>f(x+2h)-f(x)-\varepsilon$$
Así que si tomamos el límite cuando h tiende a cero, obtenemos
$$\lim_{h\to0} (f(x+2h)-f(x+h)-(f(x+2h)-f(x)))< \varepsilon$$ but since that is true for all $\varepsilon>0$ it must be that in fact $$\lim_{h\to0} \frac{f(x+2h)-f(x+h)}h=\lim_{h\to0} \frac{f(x+2h)-f(x)}h$$ and by the property we are given by the problem we conclude that the latter is equal to zero therefore by definition of differentiability $f$ has derivative equal to zero at $x$. But $x$ is just an arbitrary point with positive $f(x)$. By continuity of $f$ there exist a neighborhood of points around x where we have $f(\text{de los puntos})>0$ therefore this neighborhood of points has derivative equal to zero at any point and therefore $f$ is constant in that neighborhood so lets say is equal to $c$. Now we consider the closure of this neighborhood, the two points in the closure will have $f(\text{cierre de puntos})=c$ by continuity of $f$ and since $c>0$ there exist another neighborhoods with $f(\text{de puntos})>0$ so they are also constant. Continuing like that we see $f$ es constante.
Si no hay ningún punto de $x$ tal que $f(x)>0$ existen, pero existen sólo $x$ tal que $f(x)<0$ con un argumento similar se prueba que $f$ es constante (considere el$-f(x)$, y mostrar que es constante)
si ninguno de los dos casos que existen, a continuación, $f$ es la función cero la cual es constante.