$e^\frac1z$ no es holomorphic en $z=0$, pero se sabe que se puede ampliar como $$e^\frac1z=\frac1z+\frac1{2!z^2}+\frac1{3!z^3}+\cdots$$ Los coeficientes de esta Laurent expansión se calculan de la misma manera como Taylor. La pregunta es ¿cómo es posible? Si la función no es holomoprhic en $z=0$, entonces no es cierto que es holomophic en $|z|<R$ y Taylor coeficientes no puede ser utilizado. Por favor, que alguien explique.
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Reed G. Law
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Estoy bastante seguro de que la mayoría de los antiguos respuestas no obtener el punto clave.
Los de Laurent de expansión de la serie se define en un "borrado de barrio" en torno a una singularidad, en este caso, $\{z: 0<\lvert z-0\rvert< R \}$. En esta eliminado barrio, $e^{1/z}$ es analítica. Así que para cualquier punto en este barrio, podemos expandir $e^{z}$ primero y, a continuación, sustituya $1/z$.
Como se puede ver en el Laurent expansión se dio, usted puede conectar en cualquier $z$ arbitrariamente cercano a cero, calcular la suma infinita, y obtener un finito y bien definidos valor. Los de laurent de la serie no da ninguna información sobre el comportamiento de una función "en" sus singularidades.
Bernhard Hofmann
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4741
En general, para $f$ toda $$f(z)=a_0 +a_1z+a_2z^2+\ldots$$
De Cauchy de la integral fórmula tenemos que $a_k=\frac{1}{2 \pi i} \oint_\gamma\frac{f(z)}{z^{k+1}}dz, \ k=\in \mathbb{Z}$ donde $\gamma$ es la unidad de círculo centrado en cero ($a_k=0$ $k<0$).
La función de $g(z)=f(\frac{1}{z})$ es analítica en $\mathbb{C}-\{0\}$ con Laurent de la serie sobre cero $$g(z)=\ldots + \frac{b_{-2}}{z^2}+\frac{b_{-1}}{z}+b_0 +b_1z+b_2z^2+\ldots$$ con $b_k=\frac{1}{2 \pi i} \oint_\gamma\frac{g(z)}{z^{k+1}}dz, \ k=\in \mathbb{Z}$ donde $\gamma$ es el círculo unitario con centro en cero.
Con la sustitución de $z=\frac{1}{u}$ obtenemos $b_k=\frac{1}{2 \pi i} \oint_\gamma\frac{g(\frac{1}{u})}{u^{-k-1}u^2}du=\frac{1}{2 \pi i} \oint_\gamma\frac{f(u)}{u^{-k+1}}du=a_{-k}.$
Por lo tanto
$$g(z)=\ldots + \frac{a_{3}}{z^3} + \frac{a_2}{z^2}+\frac{a_1}{z}+a_0.$$
O como wj32 dijo que desde $f(z)=a_0 +a_1z+a_2z^2+\ldots, \ \forall z \in \mathbb{C}$ hemos $g(z)=f(\frac{1}{z})=\ldots + \frac{a_{3}}{z^3} + \frac{a_2}{z^2}+\frac{a_1}{z}+a_0 , \ \forall z \in \mathbb{C}- \{0\}$. A partir de la singularidad de Laurent de la serie este es el Laurent expansión de $g$.
