¿Por qué solo hay 7 tipos de celdas unitarias y 14 tipos de retículos de Bravais?

Question

¿Por qué solo hay 7 tipos de celdas unitarias y 14 tipos de redes de Bravais?

Estaba leyendo sobre química del estado sólido por primera vez y esta limitación no tenía sentido para mí.

Intenté hacer cálculos y me di cuenta de que podría haber muchas más posibilidades. Por lo general, la celda unitaria estándar se describe en función de si los lados están a 90 grados entre sí y si los lados son iguales o no. Sin embargo, cualquier ángulo que no sea 90 podría elegirse como el ángulo de referencia. Entonces, ¿por qué 90?

¿Es porque solo estos 14 sistemas se encuentran en la naturaleza y no hay necesidad de estudiar otros?

Además, ¿por qué solo hay formas de 4 lados o formas hexagonales? ¿Por qué no pentagonales o trigonales?

Se agradecería cualquier referencia de cualquier sitio web o libro de texto.

Answer 1

Todas las citas serán de Física del Estado Sólido de Ashcroft y Mermin.

Red de Bravais:

Un concepto fundamental en la descripción de cualquier sólido cristalino es el de la red de Bravais, que especifica el arreglo periódico en el que las unidades repetidas del cristal están dispuestas. Las propias unidades pueden ser átomos individuales, grupos de átomos, moléculas, iones, etc., pero la red de Bravais resume solo la geometría de la estructura periódica subyacente, independientemente de cuáles sean las unidades reales."

Celda Unitaria Primitiva:

Un volumen de espacio que, al ser trasladado a través de todos los vectores de una red de Bravais, llena todo el espacio sin superponerse a sí mismo ni dejar vacíos se llama una celda primitiva o celda unitaria primitiva de la red.

Celda Unitaria; Celda Unitaria Convencional:

Uno puede llenar el espacio con celdas unitarias no primitivas (conocidas simplemente como celdas unitarias o celdas unitarias convencionales). Una celda unitaria es una región que llena el espacio sin superposiciones cuando se traslada a través de algún subconjunto de los vectores de una red de Bravais. La celda unitaria convencional generalmente se elige para ser más grande que la celda primitiva y tener la simetría requerida.

Estructura Cristalina:

Un cristal físico puede ser descrito dando su red de Bravais subyacente, junto con una descripción de la disposición de átomos, moléculas, iones, etc. dentro de una celda primitiva particular.

Entonces, uno obtiene 14 redes de Bravais a partir de consideraciones de simetría, divididas en 7 sistemas cristalinos (cúbico, tetragonal, ortorrómbico, monoclinico, triclínico, trigonal y hexagonal). Esto se logra únicamente enumerando las formas en que una serie periódica de puntos puede existir en 3 dimensiones.

Ahora, lo que está en esos puntos es una celda unitaria, que a su vez tendrá cierta simetría. Así, la combinación de la red de Bravais y la simetría de la celda unitaria puede ser enumerada nuevamente y se obtienen 230 grupos espaciales.

Ahora para algunas de tus preguntas relacionadas:

Todas las redes de Bravais relacionadas con el cúbico tendrán ángulos de 90 grados porque se basan en la simetría cúbica. La red de Bravais trigonal no tiene ángulos de 90 grados, pero no se habla mucho de ella en los libros más básicos porque, bueno, se ve rara.

¿Por qué no hay celdas unitarias pentagonales? Bueno, porque no se puede llenar el espacio con una red de Bravais de simetría pentagonal. Los cuasicristales, aunque tienen simetría pentagonal, son un entrelazado en el espacio que no sigue las reglas de una red de Bravais.

Answer 2

Los siete sistemas cristalinos y 14 retículas de Bravais (y 230 grupos de espacios) son todo lo que es teóricamente posible. Nadie tiene dudas al respecto, y creo que matemáticamente está comprobado.

Si quieres seguir la regla de que un cristal está formado por la simetría de translación infinita de una celda unidad, entonces las únicas posibilidades para comenzar son dos estructuras: paralelepípedos y prismas hexagonales.

Siempre puedes, excepto por los prismas hexagonales, llenar el espacio apilando paralelepípedos en las tres direcciones. Romboédricos, cúbicos, trigonales, etc. son todos casos especiales de la celda unidad "triclínica" con mayor simetría, es obvio que no hay infinitamente más opciones que sean más simétricas. Estas conforman seis de los siete sistemas cristalinos, y el hexagonal es el caso especial que conforma el séptimo.

Las retículas de Bravais provienen de celdas unidad que tienen una simetría interna. Podrías prescindir de estas al describirlas con uno de los sistemas cristalinos menos simétricos, pero la regla es asignar el sistema cristalino con mayor simetría. De nuevo, no hay tantas posibilidades de tener una simetría interna, por lo que esto solo hace 14 retículas de Bravais de los 7 sistemas cristalinos.

El paradigma no es pensar en maneras de hacer el sistema infinitamente más complicado, sino empezar desde el sistema más extraño que pueda llenar el espacio, y pensar en las posibilidades (limitadas) de hacerlo más simple (es decir, más simétrico).

Answer 3

La estructura cristalina y la simetría dependen del parámetro de red a, b, c y de los ángulos $\alpha, \beta$ y $\gamma$. Durante la repetición de estas combinaciones, se repite una de las 14 redes de Bravais. Por lo tanto, no es posible ninguna otra combinación. Por eso, solo tenemos 7 sistemas cristalinos y 14 redes de Bravais.

Answer 4

Las redes de Bravais tienen simetría traslacional. Como mencionaste, todas las posibles simetrías de traslación se categorizan en 14 tipos. Algunas de las redes con simetrías adicionales (además de la traslacional) se colocan en ciertos tipos. Por ejemplo, el sistema cristalino cúbico con tres subcategorías tiene el mayor grado de simetría. Cualquier otra red que no tenga una simetría adicional está bajo Triclínico. Por lo tanto, no puedes tener ningún otro tipo. Debido a que todas las posibles simetrías de traslación con simetrías puntuales adicionales están categorizadas y el resto están en el tipo Triclínico. Nada queda afuera.

Answer 5

Existen grupos puntuales es decir, combinación de elementos de simetría. Podrían existir muchas combinaciones posibles de elementos de simetría. Pero solo se permiten aquellas que de alguna manera se incorporan bien con la simetría de traslación. En el espacio tridimensional, basándose en las restricciones anteriores, solo son permisibles 32 grupos puntuales. Estos 32 grupos puntuales permisibles requieren 14 redes de Bravais que se agrupan en siete sistemas.