Encontrar los números enteros s y t tales que $1=7 \times s+11 \times t$. Demostrar que s y t no son los únicos que

Question

Encontrar los números enteros s y t tales que $1=7 \times s+11 \times t$. Demostrar que s y t no son únicas.

Entiendo por qué s y t no son únicos, solo estoy seguro de cómo demostrarlo.

Gracias!

Answer 1

Si $7s+11t=1$, $7(s+11k)+11(t-7k)=1$ todos los $k$. Así que hay infinitamente muchas opciones.

Como para encontrar un par $(s,t)$ que trabajo, a pesar de que existen procedimientos generales, para números tan pequeños es más fácil ir por la experimentación. Tenga en cuenta que podemos tomar $s=8$$t=-5$.

Comentario: Supongamos que sabemos que $7s_0+11t_0=1$. Queremos encontrar todos los $(s,t)$ tal que $7s+11t=1$. Si $s$ $t$ tienen esta propiedad, a continuación,$7s+11t=7s_0+11t_0$. esto puede escribirse como $$7(s-s_0)=11(t_0-t).$$ El primer $11$ divide el lado derecho. Desde $11$ no divide $7$, se divide $s-s_0$. Deje $s-s_0=11k$. Luego de $(7)(11k)=11(t_0-t)$ obtenemos $t=t_0-7k$. Así que, de hecho, todas las soluciones son de la forma $s=s_0+11k$, $t=t_0-7k$.

Answer 2

Sugerencia: Para mostrar que él no es el único, todo lo que necesitas hacer es encontrar dos pares de $(s_1,t_1)$ $(s_2,t_2)$ tal que $1=7s_1+11t_1=7s_2+11t_2$.