¿Por qué son finitos grupo de los esquemas generalmente se supone plana?

Question

Estoy aprendiendo sobre el grupo de los esquemas en el momento. Cuando se trata de finito grupo de esquemas, cada autor que he leído hasta ahora restringe a sí mismo para el caso de los esquemas, que son planas en la base, a veces con la observación de que no tiene mucho sentido considerar un determinado esquema de grupo, que no es plana. Por otro lado, la base del esquema es generalmente asumido, al menos localmente noetherian y en este caso finito plana y localmente libre de rango finito son equivalentes. Tengo, pues, dos preguntas:

1. ¿Por qué no tiene sentido considerar un determinado esquema de grupo, que no es plana? ¿Por qué hemos de suponer que el régimen es plana y no sólo localmente libre de rango finito sobre la base?
2. ¿Por qué necesitamos la noetherian hipótesis sobre la base del esquema? No podríamos considerar que los planes que se localmente libre de rango finito sobre una base arbitraria?

Estoy muy agradecido por cualquier perspicaz comentario sobre este tema.

Answer 1

Véase el Grupo de los esquemas de primer orden por J. Tate y F. Oort, primer párrafo. Un esquema de grupo $G$ sobre una base arbitraria $S$ se dice que es de orden finito si $G = \textrm{Spec}(\mathscr{A})$ donde $\mathscr{A}$ $\mathscr{O}_S$- Álgebra que es localmente libre de la constante de rango finito. A continuación, se afirma, sin pruebas (pero es un ejercicio fácil), el siguiente : si $S$ es localmente noetherien y conectado, $G$ es de orden finito si y sólo si es plana y finito $S$.

Ahora, ¿por qué noetherian o localmente noetherian hipótesis en la base ? Por qué localmente noetherian si noetherian ser obvio, ¿por qué noetherian ? Me imagino que es histórico, ya que primero se "concreta" grupo de los esquemas que han sido estudiados fueron el grupo de esquemas sobre los campos, los anillos de enteros de los campos de número, o $p$-ádico de los anillos, todos los anillos de ser noetherian.

Observación. Mi respuesta tratado de poner de manifiesto que "a nivel local noetherian" era el verdadero problema aquí (como en casi todas partes en el esquema de la teoría), no "plana". Porque, por lo general más fácil de probar cosas bajo el nivel local noetherian hipótesis. Sobre esto, la búsqueda de "élimination des hypothèses noethériennes" en EGA IV, parte 3, párrafo 8, sección (8.9), párrafo 11, de la sección 11.3, más en general, EGA IV, parte 3, los párrafos 8 y hasta incluyó 11. Hay algún tipo de equilibrio en la realidad : ser muy general de los resultados acerca de la $S$-morfismos de esquemas con cualquier finitud hipótesis sobre la morfismos pero con la hipótesis de local noetherianess sobre la base de la $S$ o quitar esta hipótesis en $S$, e intentar demostrar demostrar resultados generales en $S$-morfismos, pero entonces usted necesita algún tipo de limitación de las hipótesis de morfismos, y el de la derecha es generalmente de "ser un morfismos de finito de presentación". La ventaja es que incluso si el noetherianess no es estable por cambio de base, siendo finito de presentación. Este equilibrio es realmente visto en EGA IV, donde en los párrafos 5, 6 y 7 que siempre han local noetherianess hipótesis sobre la base pero no las hipótesis de morfismos, mientras que en los párrafos 8, 9, 10 y 11 de quitar la hipótesis realizadas en la base, y hacer la hipótesis de "finito de presentación" en la morfismos. La introducción de EGA IV (después de la final del capítulo 0) da un montón de detalles sobre esto.