Sigma álgebra es incontable, auto-contenida manera de ver?

Question

Supongamos $\mathcal{A}$ $\sigma$- álgebra con la propiedad de que cada vez que $X \in \mathcal{A}$ $X$ es no vacío, no existe $Y$, $Z \in \mathcal{A}$ con $Y \cap Z = \emptyset$, $Y \cup Z = X$, y ni $Y$ ni $Z$ está vacía. ¿Cómo puedo ver que $\mathcal{A}$ es incontable?

Hay "pruebas" de esta web, pero son poco claras o diferir a cosas que no me siga, como "$\mathbb{F}_2$-espacios vectoriales," o están incompletos. Es posible que nadie podría proporcionar un ambiente limpio y auto-contenida argumento, o incluso una prueba?

Answer 1

Deje $\mathcal A'=\{X\in \mathcal{A}:X\ne\emptyset\}.$ Elija $Y_0\in\mathcal A'.$ (Si $\mathcal A=\{\emptyset\}$ tenemos un problema.) Elegir distintos conjuntos de $X_1,Y_1\in\mathcal A'$$X_1,Y_1\subset Y_0;$, a continuación, elija conjuntos disjuntos $X_2,Y_2\in\mathcal A'$ $X_2,Y_2\subset Y_1;$ y así sucesivamente. De esta manera obtenemos una secuencia infinita $X_1,X_2,X_3,\dots$ de pares disjuntos no vacíos elementos de $\mathcal A.$

Para cada conjunto $I\subseteq\mathbb N$ deje $X_I=\bigcup_{i\in I}X_i.$ $2^{\aleph_0}$ conjuntos de $X_I$ son elementos distintos de a $\mathcal A.$

Answer 2

Basta con exhibir un countably infinito $S\subset A$ donde los miembros de $S$ son pares disjuntos no vacíos a los miembros de $A.$ Debido a que el conjunto de $T=\mathbb P(S)$ de todos los subconjuntos de a $S$ tiene el cardenal de $\mathbb R,$ $t\in T,$ la función de $\psi :T\to A,$ donde $\psi (t)=\cup t,$ es inyectiva.

Así que tome $X_1\in A$ $X_1\ne \phi.$ $n\in \mathbb N,$ deje $X_n\supsetneqq X_{n+1}$ donde $\phi \ne X_{n+1}\in A.$ Y ahora vamos a $Y_n=X_n$ \ $X_{n+1}$ para $n\in \mathbb N.$ Y deje $S=\{Y_n:n\in \mathbb N\}.$