Explique el método detrás de permutaciones pregunta (de alto nivel de la escuela)

Question

Estoy en la escuela secundaria y tengo una pregunta en mi libro de texto en el que se lee:

Un bebé de nueve diferentes animales de juguete. 5 de ellos son de color rojo y 4 de ellos son de color azul. Ella organiza los juguetes en una línea para que los colores están dispuestos simétricamente. Cuántos arreglos son posibles?

Esto es cómo razonaba: para cumplir con la simétrica requisito, el medio juguete debe ser de color rojo. Esto deja a los 8 juguetes, 4 en cada lado de la mitad roja de juguete - 4 son rojas y 4 azules. Para calcular las permutaciones de los 8 restantes, manteniendo el simétrico requisito en mente, podemos calcular 4!.

Por lo tanto, el número total de arreglos es $4! + 1 = 25$

Esta no era la respuesta correcta - la respuesta correcta es $6*5!*4! = 17280$

Podría alguien por favor explique de donde es mi forma de pensar no me? Gracias!

Answer 1

Así, usted está en lo correcto en decir que la mitad de juguete debe ser de color rojo. Tenga en cuenta que tenemos los espacios de la siguiente manera: $$ [1][2][3][4][R][6][7][8][9].$$ Porque el arreglo es simétrica en el color, nosotros sólo nos preocupamos de organizar el color en un lado de la $5^{th}$ ranura, porque este determina el color de todo el arreglo. Por ejemplo, si queremos organizar $6-9$ $$ [R][B][R][B]$$ la configuración general es $$ [B][R][B][R][R][R][B][R][B].$$ Por lo tanto, hay $$ \frac{4!}{(2!)^2}=6$$ formas de organizar los colores. Luego hay $5!$ formas para permutar el rojo característico de los juguetes, y $4!$ formas de permutar las distintas azul juguetes. Utilizando la regla del producto que hemos $$ 6(5!)(4!)$$ permutaciones, como se desee.

Answer 2

No puedo explicar su pensamiento, porque $4!$ simplemente no cuenta la cuestión. Además, la adición de uno en una situación como esta no es algo que generalmente está hecho.

Aunque no se indica explícitamente, el problema parece implicar que los juguetes en sí mismos son distinguibles y que la simetría que estamos esperando es un reflejo de simetría con respecto a los colores sobre el medio.

El libro (y correcta) respuesta puede ser explicado a través de la multiplicación principio:

• Empezar por darse cuenta de que tenía que medio punto debe ser de color rojo. Continuar por la a notar los primeros cuatro puntos que debe tener exactamente dos de ellos en rojo y exactamente dos de ellos siendo azul. Una vez que hemos elegido la disposición de rojo y azul en los primeros cuatro puntos, al final de cuatro puntos que debe reflejar esa selección. Hay $\binom{4}{2}=6$ formas a reserva de que las ranuras son de color rojo y juguetes que son para blue juguetes respetando la simetría requisito.
• De izquierda a derecha, entre los espacios reservados para el rojo juguetes, elegir el rojo es un juguete usado. $5$ opciones para la primera aparición de la ranura reservada para el rojo. $4$ opciones para la segunda aparición de la ranura reservada para el rojo... hasta sólo $1$ elección para el final aparece la ranura reservada para el rojo, para un total de $5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 5!$ formas para realizar la roja los juguetes en sus slots reservados.
• De izquierda a derecha, entre los espacios reservados para el azul juguetes, elegir el azul es un juguete usado. $4$ opciones para la primera aparición de la ranura reservada para el azul, $3$ opciones para la segunda aparición de la ranura reservada para el azul, etc... para un total de $4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 4!$ formas para realizar el azul de los juguetes en sus slots reservados.

La aplicación de la multiplicación principio, hay $\binom{4}{2}\cdot 5!\cdot 4!$ formas de organizar los juguetes de acuerdo con las condiciones.