Espacios vectoriales y las intersecciones

Question

Yo estaba pensando en el siguiente problema últimamente:

Supongamos $V_1,V_2,V_3,V_4$ son subespacios vectoriales de $\Bbb{R}^4$ de la dimensión de $2$ tal que $V_i\cap V_j=\{0\}$$i \neq j$. Es cierto que podemos encontrar un subespacio vectorial de dos dimensiones de $\Bbb{R}^4$ tal que $\dim V_i\cap W =1$$i=1,2,3,4$?

El mismo problema con todas las dimensiones se duplicó fue dado a un Miklos Schweitzer competición en 2012.

El uso de un lineal automorphism de $\Bbb{R}^4$ podemos asumir que $V_1=span\{e_1,e_2\},V_2=span\{e_3,e_4\}$ donde $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ es la base canónica. Es bastante fácil de construir $W$ que satisface $\dim W\cap V_i = 1$$i=1,2,3$, pero no he podido conectarlo a el cuarto espacio.

Answer 1

$W$ puede que no siempre existen. Aquí es un contra-ejemplo.

Después de su anotación, deje $\{e_1,e_2,e_3,e_4\}$ ser una base de $\Bbb R^4$ y dejar

$$V_1={\rm span}\{e_1, e_2\}, \quad V_2={\rm span}\{e_3, e_4\}.$$ Por otra parte, vamos

$$V_3={\rm span}\{e_1+ e_3, e_2+e_4\},\quad V_4={\rm span}\{e_1-e_4, e_2+e_3\}.$$ Es fácil comprobar que los subespacios de satisfacer todos los requisitos. Ahora supongamos $W$ es un subespacio de dos dimensiones de $\Bbb R^4$$\dim (W\cap V_1 )=\dim (W\cap V_2)=1$, por lo que hay $a,b,c,d\in \Bbb R$, de tal manera que $$ W={\rm span}\{ a e_1+be_2, c e_3+de_4\}.$$ Considere la posibilidad de $u:=(a,b)$ $v:=(c,d)$ como vectores no nulos en $\Bbb R^2$. A continuación, el cálculo directo muestra que $\dim (W\cap V_3)=1$ si y sólo si $u$ $v$ son paralelas, y $\dim (W\cap V_4)=1$ si y sólo si $u$ $v$ son perpendiculares, es decir, estas dos condiciones no pueden ser satisfechos simultáneamente.

Answer 2

¿Qué acerca de $$ V_1=span\{e_1,e_2\}, \quad V_2=span\{e_3,e_4\}, $$ $$ V_3=span\{e_1+e_3,e_2+e_4\}, \quad V_4=span\{e_1-e_3,e_2-e_4\}. $$ Todos estos son dos dimensiones de los subespacios con $V_i\cap V_j=\{0\}$$i\ne j$. Tomando $$ W=span\{e_1+e_2,e_3+e_4\} $$ debe responder a la pregunta: $dim(W\cap V_i)=1$ todos los $i$.