Independiente de los procesos estocásticos y la independiente de vectores aleatorios

Question

1. La definición de los dos procesos ser independiente es dada por PlanetMath:

   Dos procesos estocásticos $\lbrace X(t)\mid t\in T \rbrace$ $\lbrace Y(t)\mid t\in T \rbrace$ se dice que ser independiente, si por cualquier positiva entero $n<\infty$, y la secuencia de las $t_1,\ldots,t_n\in T$, el azar vectores $\boldsymbol{X}:=(X(t_1),\ldots,X(t_n))$ y $\boldsymbol{Y}:=(Y(t_1),\ldots,Y(t_n))$ son independientes.

   Me preguntaba si de acuerdo a la definición, para cualquier entero positivo $n,m<\infty$, y la secuencia de las $t_1,\ldots,t_n\in T$ y cualquier secuencia $s_1,\ldots,s_m\in T$, el vectores aleatorios $\boldsymbol{X}:=(X(t_1),\ldots,X(t_n))$ y $\boldsymbol{Y}:=(Y(s_1),\ldots,Y(s_m))$ también son independientes?

2. Algunas cuestiones para dos independiente de vectores aleatorios $V$ y $W$:

   • Cualquier subvector de $V$ y cualquier subvector de $W$ (los dos subvectors no necesariamente tienen los mismos índices en el original aleatorio vectores) ser independiente?
   • Para cualquiera de los dos subvectors $V_1$ $V_2$ $V$ y dos subvectors $W_1$ $W_2$ $W$ , el condicional vectores aleatorios $V_1|V_2$ y $W_1|W_2$ también ser independiente?

Gracias y saludos!

Answer 1

La respuesta a todas tus preguntas es sí. Y que puede deducirse de los siguientes :

Si dos vectores aleatorios $\boldsymbol{X}:=(X_1, \ldots,X_n)$ y $\boldsymbol{Y}:=(Y_1, \ldots,Y_m)$ son independientes, cualquier par de "marginados" random vectores $\boldsymbol{X_A}$, $\boldsymbol{Y_B}$ (cada uno formado por arbitraria de subconjuntos de los originales) son independientes.

Esta propiedad (básicamente su segunda pregunta) puede ser fácilmente deducido a partir de la definición de la independencia (factorización de articulación de densidades) y la marginación. A partir de esto los otros dos.