La matanza de la torsión en homotopy

Question

Origen

Esta pregunta fue hecha por Juan Báez en Esta Semana se Encuentra en la Física Matemática (Semana 286). Por lo tanto, por favor no upvote esta pregunta (a menos que usted realmente quiere), pero no upvote las respuestas.

Antecedentes/Motivación

Para un CW complejo (aquí por simplicidad vamos a tener $\pi_1 = 0$), puede realizar la operación de "racionalización", que va a cambiar su homotopy $\pi_n \to \pi_n \otimes \mathbb Q$. Esto funciona mediante la fijación de suficiente cilindros, de modo que cada célula original es asesinado, pero sus subdivisiones nacen en su lugar.

Pregunta

¿Existe un procedimiento similar al de "la matanza de la torsión" que iba a cambiar la homotopy de 1-conectado CW complejo de$\pi_n$$\pi_n/\pi_n^{tors}$?

Pensamientos

Uno se encuentra con problemas si sólo se trata de matar a la célula: el procedimiento que haya cambiado la mayor homología (esto no sucede en la racionalización de puesto de cilindros de simple). Así que sospecho que la respuesta es "No", pero, ¿cómo construir un contraejemplo?

Answer 1

No tengo una respuesta para esta pregunta, pero para el análoga cuestión de homología parece que no se puede hacer. Por el universal coeficiente de teorema, una construcción de este tipo de homología daría una construcción de cohomology así. Para obtener un contraejemplo en cohomology, tomar un Eilenberg-MacLane espacio de $K({\mathbb Z},n)$ $n$ incluso. Esto ha racional cohomology un polinomio anillo de ${\mathbb Q}[x]$ $x$ grado $n$. De esto se desprende que si el factor de la torsión de la integral cohomology anillo de obtener un polinomio anillo de ${\mathbb Z}[x]$ $x$ grado $n$, como se puede ver mirando un mapa de ${\mathbb C}P^\infty$ $K({\mathbb Z},n)$lo que induce un isomorfismo en $H^n(--;{\mathbb Z})$, utilizando el hecho de que la integral cohomology de ${\mathbb C}P^\infty$ es un polinomio de anillo. Sin embargo, no hay ningún espacio cuya integral cohomology anillo es un polinomio anillo en un generador de grado $n$ si $n > 4$, como uno ve mirando Steenrod plazas y en Steenrod poderes para el prime $p=3$. (Este es el Corolario 4L.10 en mi libro).

En el contexto de que Báez estaba hablando, la racionalización de la homotopy grupos es equivalente a la racionalización de la homología de grupos, por lo que parece que vale la pena saber que uno no puede matar a la torsión en la homología, al menos.

Answer 2

No, no existe tal procedimiento. El problema es que la conexión de nuevas células pueden cambiar el nontorsion en mayor homotopy grados y hacer más divisible de lo que solía ser.

Un ejemplo: Si X es BSp, que aparece en el Bott periodicidad de la secuencia y ha homotopy grupos (a partir del grado 1) 0, 0, 0, ℤ, ℤ/2, ℤ/2, 0, ℤ, ... Si se conecta una de las 6 dimensiones de la célula a matar a los ℤ/2 en el grado 5, entonces el ℤ en la dimensión 8 se convierte divisible por 2. Cualquier otro mapa que mata a este ℤ/2 factores (noncanonically) a través de la fijación de un 6 celdas y así siempre ha de divisibilidad de la clase en el grado 8.

Answer 3

Podría ir sin decir, pero existe un procedimiento para que no sea simplemente espacios conectados si vas a matar a un perfecto torsión subgrupo. Es sólo Quillen del plus de construcción utilizados en la construcción de algebraica de k-teoría.

Answer 4

Creo que se sigue por el Teorema 4.4 de "Neeman, Amnón Estable homotopy como nidos functor, Inventar. De matemáticas. 109 (1992), no. 1, 17--40" que este procedimiento de matar a la torsión funcionará si usted invierta el primer 2.

Answer 5

Zabrodsky hace en un papel en el fantasma de mapas. No functorial, pero usted puede hacerlo de forma coherente para todos los espacios y mapas en un diagrama que es finito (en el sentido apropiado).