Intersección de vecindarios de 0. ¿Subgrupo?

Question

Repitiendo para mi examen de álgebra conmutativa.

Sea G un grupo abeliano topológico, es decir, tal que los mapeos $+:G\times G \to G$ y $-:G\to G$ son continuas. Entonces tenemos el siguiente Lemma:

Sea H la intersección de todas las vecindades de $0$ en $G$ . Entonces $H$ es un subgrupo.

La prueba en los libros es la siguiente frase: "se deduce de la continuidad de las operaciones de grupo". (esto es de "Introducción al Álgebra Conmutativa" por Atiyah-MacDonald)

Debo admitir que no veo realmente cómo eso "se deduce". Si hay una explicación fácil dirigida a alguien que no se ha encontrado con grupos topológicos en ninguna medida, me encantaría leerla.

Answer 1

Si $U$ es una vecindad de $0$ entonces también lo es $-U=\{-x:x\in U\}$ . Esto demuestra que si $x\in H$ entonces $-x\in H$ .

Para demostrar que $H$ es cerrado bajo adición, utilice el hecho de que si $U$ es una vecindad de $0$ entonces hay otro barrio $V$ de $0$ avec $V+V\subseteq U$ . La existencia de $V$ se deduce de la continuidad de la suma en $(0,0)$ .