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9 votos

Coadjoint órbitas en física

Estoy buscando alguna aplicación de coadjoint órbitas en la física. Si usted sabe algunos de ellos, por favor hágamelo saber.

8voto

David Bar Moshe Puntos 14259

Aunque los grupos y sus representaciones ya se han aplicado a la mecánica cuántica, casi desde el nacimiento de la teoría cuántica, su papel central, fue reconocido en toda su importancia por Eugene Wigner. Su trabajo en la cristalografía, atómica y molecular de los espectros de la relatividad (unitario de las representaciones del grupo de Poincaré), que le llevó a apreciar la gran importancia de los grupos y sus representaciones en la mecánica cuántica.

Después de su trabajo pionero en el grupo de Poincaré representaciones, la mayor parte de su trabajo fue profundamente conectados con los grupos y sus representaciones. Ya en su trabajo sobre las representaciones del grupo de Poincaré, introdujo el método de la inducción de las representaciones. Él se dio cuenta de que el Galileo simetría se realiza como un proyectiva (ray) la representación en las funciones de onda de Schrödinger. También junto con Inönu él introdujo la teoría del grupo de las contracciones (y sus representaciones). Hay muchas personas que consideran que la cuantización y el grupo de representaciones de las dos caras de un mismo problema.

He incluido esta larga introducción acerca de Wigner aunque Wigner sí mismo (que yo sepa) nunca trabajó en coadjoint órbitas. Pero todo su trabajo importante (que en realidad abarca todas las áreas importantes de la física cuántica) está íntimamente conectado a coadjoint órbitas. De hecho coadjoint órbitas puede servir como un principio unificador de toda la aparentemente separado de los modelos en los que Wigner trabajado: Wigner la clasificación de las representaciones del grupo de Poincaré es en realidad una clasificación de la Poincaré coadjoint órbitas y su cuantización, por favor, véase por ejemplo el siguiente trabajo: por Cariñena, Gracia-Bondia, Lizzi, Marmo y Vitale. También, la proyectiva representaciones que Wigner tratados aparecen de forma natural en el coadjoint órbita de la imagen, ya que, por ejemplo, una integral coadjoint órbita es un buen proyectiva variedad (por favor, véase por ejemplo el siguiente artículo : Schlichenmaier. También, las representaciones en el Inönu-Wigner contracciones son también, al menos parcialmente) relacionados con las cuantizaciones de coadjoint órbitas, por favor consulte los siguientes dos artículos por Benjamin Cahen.

A pesar de que aparecen en otros contextos de la física, coadjoint órbitas puede ser pensado como la clásica fase de espacios correspondientes a los grados internos de libertad de partículas cuánticas como spin, sabor, color, etc. Esta imagen permite que el tratamiento de la traslación de grados de libertad cuya correspondiente fase de espacios cotangente paquetes y los grados internos de libertad en el mismo pie de igualdad. Una importante aplicación en la que tanto los grados de libertad conviven e interactúan es el Wong de ecuaciones que generalizar la ecuación de Lorentz para una partícula con una nonAbelian cargo, tales como el color:

dxidt=pi

dpidt=Faij(x)Ta(y)pi

dTadt=fcabAbj(x)Tc(y)

Donde Abj es el de Yang-Mills vector potencial de Faij el correspondiente campo de fuerza, xipi, la posición y el impulso de las coordenadas Ta(y) son los Hamiltonianos de las funciones en el coadjoint órbitas que representa el nonAbelian cargos y fcab la estructura constantes, y y son las coordenadas en el coadjoint órbitas. Para una discusión más profunda por favor, consulte la siguiente tesis : Rainer Glaser.

La cuantificación de coadjoint órbitas conduce a unitario de representaciones de los grupos correspondientes. Las representaciones son usualmente se dio cuenta de la reproducción del núcleo de Hilbert espacios de secciones de línea de paquetes. Estas declaraciones se dieron cuenta de como coherente de la representación del estado (por favor, véase por ejemplo el siguiente artículo : Boya, Perelomov y Santander), lo que los hace especialmente adecuados para semiclásica de análisis. (favor de ver de nuevo el Rainer Glaser tesis).

Todos coadjoint órbitas de los compactos semsimple Mentira grupos y algunos de los coadjoint órbitas de los noncompact grupos Kähler. La cuantificación de estas órbitas se puede lograr por medio de la Berezin Toeplitz de cuantización, por favor consulte la siguiente revisión por Schlichenmaier. También se Kähler y homogénea que hace que estos coadjoint órbitas accesible para trabajo explícito. Por favor ver el siguiente artículo : Bernatska, y Holod para ejemplos de trabajo explícito en semisimple coadjoint órbitas. Es importante mencionar que con el fin de ser capaz de cuantización un compacto coadjoint órbita, debe ser integral, es decir, el flujo de su forma simpléctica a través de 2-ciclos debe ser cuantificada. Esta es la Dirac condición de cuantización.

La más elemental coadjoint órbita es de los dos-esfera. Su cuantización conduce a la teoría del momento angular de espín, por favor véase, por ejemplo, el original de la obra por Berezin. Spin sistemas, que constituyen importantes modelos en la teoría del magnetismo, pueden ser estudiados mediante generalizaciones de las ideas. Por favor, véase por ejemplo el siguiente artículo : Bykov.

Las representaciones asociadas con la forma de coadjoint órbitas pueden ser obtenidos como cero modos de Landau, el problema de una partícula que se mueve en el coadjoint órbita en un campo magnético igual a la forma simpléctica. La cuantificación de espacio de Hilbert se obtiene como (degenerado) el espacio de los más bajos a nivel de Landau. Por favor, véase, por ejemplo, los siguientes notas de la conferencia.

Hay una importante aplicación de Yang-Mills y Chern-Simons tipo de teorías se llama la nonAbelian teorema de Stokes en el que Wilson lazo puede ser expresado como una de Feynman de la ruta integral de bucles en una coadjoint órbita que puede ser determinado de forma heurística como:

trHT{exp(i\cualquierAa(t)Ta)}=limmexp(iT0αHi˙ziˉαHi˙ˉzi+m2giˉj˙zi˙ˉzj+Aa(t)THa(z,ˉz))DzDˉz

Donde αH es el simpléctica potencial de la coadjoint órbita correspondiente a la representación de la H (a través de la Borel-Weil-Bott teorema). El símbolo Ta es utilizado para una Mentira álgebra elemento en el Wilson lazo y también para el Hamiltoniano correspondiente función dentro de la ruta integral. z son las coordenadas de la coadjoint órbita. La acción se describe una partícula en un campo magnético, que se ha distribuido de la densidad de carga como la función Hamiltoniana. El límite de m es llevado a dominar el menor nivel de Landau en la ruta integral. Esta representación ha sido utilizado para la inserción de Wilson bucles en la QCD Camino integrales (en el estudio de confinamiento) y también la inserción de Wilson bucles en el Cher-Simons teoría que conduce a la Jones polinomios.

Hay explícitamente conocidas clasificaciones de algunos casos de infinitas dimensiones coadjoint órbitas, principalmente, aquellos relativos a la teoría de cuerdas. Una clasificación completa de la coadjont orboits de la orientación de la preservación de diffeomorphism grupo del círculo de Diff+(S1) están dados por: Jialing y Pickrell. La clasificación de coadjoint órbitas de bucle de los grupos, es también conocido, por favor consulte las siguientes notas de la conferencia por Khesin y Wendt.

Coadjoint órbitas aparecer en muchas más áreas y aplicaciones en física. Las aplicaciones mencionadas anteriormente se puede ser el más conocido en mi muy personal punto de vista.

7voto

Joakim Bodin Puntos 161

El Wilson lazo observables en el interior 3d de Chern-Simons, la teoría de campo de gauge son secretamente a sí mismos la cuantización de un 1d teoría del campo en términos de coadjoint órbitas.

Esta, posiblemente, sigue siendo sorprendente sonido de la declaración fue insinuado ya en la p. 22 de la seminal

  • Edward Witten, la Teoría Cuántica de campos y el Polinomio de Jones Commun. De matemáticas. Phys. 121 (3) (1989) 351-399. MR0990772 (proyecto EUCLID)

    Una discusión detallada de cómo funciona esto está en la sección 4 de

  • Chris Beasley, de la Localización de Wilson Bucles en Chern-Simons en la Teoría de J. Andersen, H. Boden, A. Hahn, y B. Himpel (eds.) Chern-Simons Teoría de Gauge: 20 Años Después , AMS/IP Estudios en Adv. de Matemáticas., Vol. 50, AMS, Providence, RI, 2011. (arXiv:0911.2687)

siguiente

  • S. Elitzur, Greg Moore, A. Schwimmer, y Nathan Seiberg, Observaciones sobre la Cuantización Canónica de la Chern-Simons-Witten Teoría, Nucl. Phys. B 326 (1989) 108-134.

La idea es indicado en la nLab aquí.

Como ya se habló allí, la declaración de que hay un coadjoint órbita de la 1d de la teoría cuántica de campos especie de "dentro de" 3d Chern-Simons teoría tiene una buena interpretación desde un punto de vista de la extendida teoría cuántica de campos. Esto lo hemos discutido en la sección 3.4.5 de

Así que dada la ubicuidad de Chern-Simons teoría en QFT, y el hecho de que mucho de lo que es interesante acerca de que está codificada en sus Wilson lazo observables, esto significa que la cuantización de coadjoint órbitas juega igualmente un papel importante. Por ejemplo, dado que todas racional 2d de la teoría conforme de campos es doblemente codificada, a través de la FRS teorema, por 3d de Chern-Simons teoría de tal manera que los CFT campo de las inserciones se asignan a la CS Wilson bucles, esto significa que cuantizado coadjoint órbitas están en el trabajo detrás de las escenas en mucho de 2d CFT.

2voto

Jeremy Cron Puntos 1377

Me pueden agregar un par de obras recientes que utilizan coadjoint órbitas para comprender mejor el espacio de soluciones de 2+1 de la gravedad. Con una constante cosmológica usted obtener Virasoro grupo coadjoint órbitas, y sin una constante cosmológica usted obtener BMS3 coadjoint órbitas. Estas son las simetrías de los espacios de soluciones de las correspondientes teorías gravitacionales. Las obras a que me refiero son (para nombrar algunos):

  • arXiv:1403.3835, arXiv:1403.5803, arXiv:1502.00010, arXiv:1502.03108
  • arXiv:1403.3367

La primera línea es de aproximadamente espacio plano, la segunda línea es el caso con un negativo de la constante cosmológica (un trabajo de la mina con M. Leston). Debería haber más obras en la física utilizando coadjoint órbitas, pero estas son las que conozco y que son recientes.

-2voto

DEfusion Puntos 2793

Voy a correr el riesgo de que otra persona contradecirme. Mi respuesta corta es

No.

Ya no hay aplicaciones de co-adjoint órbitas a la Física. El tema de la co-adjoint órbitas pertenece a la física matemática, que no es Física real.

El trabajo iniciado por Souriau y Kostant geométrica cuantificación (también debo mencionar Michelle Vergne y sus estudiantes) es acerca de la cuantificación, que es cómo producir un Mecánico-Cuántica del sistema a partir de un determinado Sistema Clásico. Esto fue muy interesante, de vuelta en los años 30, pero ya no tiene ninguna utilidad. Lo que interesa ahora son los Sistemas Cuánticos que tienen no Clásica analógica, y por lo tanto no pueden ser obtenidos por la cuantificación.

Dicho esto, voy a comer mis palabras si alguien me muestra un posible ruta de co-adjoint órbitas para una completamente nueva Teoría Cuántica de campos que no necesita renormalisation. No he oído hablar de algo remotamente parecido a eso, pero si hubiera una cosa imposible, que podría ser interesante.

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