cómo encontrar a $\int_{0}^{1}h_n(x)dx?$

Question

Agradecería si alguien me podría ayudar con el siguiente problema: $$h(x)=\begin{cases} 2x&\left(0\leq x\leq \frac{1}{3}\right)\\ \frac{1}{2}x+\frac{1}{2} &\left(\frac{1}{3}<x\leq 1\right) \end{casos}$$ deje $h_2(x)=h(h(x)), h_3(x)=h_2(h(x)),\cdots, h_{n+1}(x)=h_n(h(x))$

encontrar $\int_{0}^{1}h_n(x)dx ?$

Answer 1

Jugando con los patrones de esta recursividad, me sale lo siguiente:

$$h_n(x) = \begin{cases}\\ 2^n x, & 0 < x < \frac{1}{3 \cdot 2^{n-1}}\\2^{n-2 m} x + \left (1-\frac{1}{2^m}\right ),&\frac{1}{3 \cdot 2^{n-m}}<x<\frac{1}{3 \cdot 2^{n-m-1}} \\ \frac{1}{2^n} x +\left (1-\frac{1}{2^n}\right ),&\frac{1}{3}<x<1 \end{cases}$$

donde $m \in \{1,2,\ldots,n-1\}$. Usted puede verificar que esto es cierto por inducción, el uso de $h_{n+1}(x) = h(h_n(x))$. (Dejo esto para que el lector y el OP.)

Una vez que usted tiene esta definición conjunto, haciendo la integral es un asunto de cuidado de la contabilidad:

$$\begin{align}\int_0^1 dx \: h_n(x) = \int_0^{1/(3 \cdot 2^{n-1})} dx \: 2^n x + \sum_{m=1}^{n-1} \int_{1/(3 \cdot 2^{n-m})}^{1/(3 \cdot 2^{n-m-1})} dx \left [(2^{n-2 m} x + \left (1-\frac{1}{2^m}\right )\right ]\\ + \int_{1/3}^1 dx \: \left [\frac{1}{2^n} x +\left (1-\frac{1}{2^n}\right )\right ] \\\end{align}$$

Vuelvo a dejar el álgebra para el lector y OP; el resultado es

$$\int_0^1 dx \: h_n(x) = 1 - \frac{n+3}{6 \cdot 2^n}$$

Se puede comprobar que este resultado está de acuerdo con el $n=1$ de los casos.

ANEXO

Aquí es un complot de los primeros casos de $h_n$: