Producto Tensor, Potencia Exterior y la División de

Question

Deje $M$ $\mathbb{Z}$- módulo y considerar el submódulo $K=\langle m\otimes m\mid m\in M\rangle$$M\otimes M$. ¿Bajo qué condiciones la SES $$0\to K\to M\otimes M\to M\wedge M\to 0$$ split? In other words when can we write $M\otimes M\cong K \times (M\wedge M)$.

Gracias.

Answer 1

Esto es cierto si $M$ es finitely generado. Por la estructura teorema, existe una presentación de $M = \mathbb{Z} \langle e_i \rangle$ donde las relaciones sólo son de la forma $n_ie_i = 0$, para algunas de las $n_i \in \mathbb{Z}$. A continuación,$M \otimes M = \mathbb{Z}\langle e_i \otimes e_j \mid (n_i, n_j) \ne 1 \rangle$, y para definir un grupo homomorphism en $M \otimes M$ es suficiente para comprobar la torsión de las condiciones en las imágenes de los generadores. Definir $s : M \otimes M \to K$ por

$$s(e_i \otimes e_j) = \begin{cases} e_i \otimes e_j + e_j \otimes e_i \qquad & i < j \\ e_i \otimes e_i \qquad & i = j \\ 0 \qquad & i > j \end{casos}$$

extendida $\mathbb{Z}$linealmente. Observe que $e_i \otimes e_j + e_j \otimes e_i = (e_i + e_j) \otimes (e_i + e_j) - (e_i \otimes e_i) - (e_j \otimes e_j)$, por lo que este hace de la tierra en $K$. Como la torsión de las condiciones en los generadores están satisfechos, $s$ es un grupo bien definido homomorphism, y $s \circ i = \text{id}_K$ donde $i : K \hookrightarrow M \otimes M$ es la inclusión. Por la división de lema, $0 \to K \to M \otimes M \to \wedge^2 M \to 0$ se divide exacta.

El mismo razonamiento se aplica también a cualquier $\mathbb{Z}$-módulo de $M$ cuya matriz de relaciones puede ser "diagonalized", después de la elección de un bien de orden en la generación del sistema: por ejemplo, cualquier suma directa de finitely generadas $\mathbb{Z}$-módulos, tales como el $\mathbb{F}_2$-espacio vectorial.

Otra clase de ejemplos donde la secuencia se divide es si $2$ actúa como una unidad en $M$, en cuyo caso simetrización es una división de mapa de $M \otimes M \to K$:

$$\text{sym}(e_i \otimes e_j) = \frac{1}{2}(e_i \otimes e_j + e_j \otimes e_i)$$

lo que da el resultado para, por ejemplo, cualquier $\mathbb{Q}$-espacio vectorial, o más en general, cualquier inyectiva $\mathbb{Z}$-módulo con el no $2$-torsión. El resultado es válido para la Prufer $2$grupo $E_2 := E_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}[1/2]/\mathbb{Z}$, ya que los $E_2 \otimes E_2 = 0$ ($E_2$$2$- divisible, pero cada elemento es asesinado por una potencia de $2$), lo que muestra que el resultado también es válido para cualquier inyectiva $\mathbb{Z}$-módulo (por la estructura teorema de injectives $\mathbb{Z}$, como no hay términos con $E_2$ aparecerá en el tensor de la plaza o en el exterior de la plaza).