¿Cómo se parametriza la superficie formada por una banda de Möbius *de papel real*?

Question

Aquí hay una imagen de una tira de Möbius, hecha con un papel verde grueso:

Quiero saber o bien una parametrización explícita, o bien una descripción de un proceso para encontrar la forma formada por esta tira, tal y como aparece en la imagen. Ahora, antes de que saltes y declares: "¡Es fácil! Es sólo $\left(\left[1+u \cos \frac \theta2\right]\cos \theta,\left[1+u\cos\frac \theta2\right]\sin \theta,u\sin \frac \theta2\right)$ para $u\in\left[-\frac12\!,\frac12\right]$ , $\theta\in[0,2\pi)$ !" Entiéndase que esta parametrización pasa por alto algunas características de la imagen; concretamente, si se traza una línea por el centro de la franja, se obtiene un círculo, pero el de la imagen tiene forma de riñón, y no es plano. ¿Qué ecuaciones tendría que resolver para obtener una curva de "energía mínima" de un trozo de papel plano que está siendo topológicamente restringido así? ¿Es incluso cierto que la superficie tiene curvatura cero? (Cuando doblo "razonablemente" un trozo de papel para darle una forma lisa, ¿tendrá curvatura cero en toda la superficie, o parte de la resistencia del papel corresponde a que yo imparta una curvatura distinta de la cero a la superficie?)

Así pues, esta cuestión se refiere principalmente a las formas de equilibrio formadas por el papel y los objetos similares al papel (análogo a la teoría de la superficie mínima en relación con los modelos de burbujas de jabón). ¿Alguien conoce referencias sobre este tema?

Answer 1

La franja de Möbius que muestras es una superficie desarrollable. Nadie, que yo sepa, ha sido capaz de crear una parametrización de la misma.

Desde 1858, año en que se descubrió la banda de Möbius, los matemáticos han buscado una forma de modelarla. El problema fue finalmente resuelto en 2007 por E.L. Starostin y G.H.M. van der Heijden.

Tal vez quiera leer su artículo "The equilibrium shape of an elastic developable Möbius strip" (La forma de equilibrio de una banda de Möbius elástica desarrollable) en este sitio - http://www.ucl.ac.uk/~ucesgvd/pamm.pdf

Answer 2

MJD, ya que te refieres a la pregunta original, y teniendo en cuenta tus comentarios anteriores, supongo que intentas ser provocador.

Sin embargo, su pregunta se refiere a un error muy común. En cierto sentido, el mismo que aborda la pregunta original.

Es común pensar que la tira de Mobius que se puede modelar dando una media vuelta a una tira de papel y uniendo los extremos está descrita por la parametrización que das.

Hay algunas diferencias muy reales entre ambos que ayudan a explicar por qué esto no es así.

PRIMERO

La parametrización describe una banda de Mobius cuya línea central es un círculo. El modelo de papel es como el símbolo de reciclaje y tiene una línea central triangular.

SEGUNDO

La parametrización describe la trayectoria de una línea recta centrada en un círculo; la línea recta viaja alrededor del círculo y completa una única rotación de 180 grados (medio giro) en el momento en que regresa a su punto de partida. En ningún momento la línea recta se dobla en el espacio 3D.

Si dibujas líneas rectas transversales en una tira de papel y luego haces un modelo de tira de Mobius, descubrirás que en las tres esquinas esas líneas se doblan en el espacio 3D. Si te tomas el tiempo de observar seriamente esas esquinas, descubrirás que cada una incorpora una media torsión. Así que una tira de Mobius de papel tiene en realidad tres medias torsiones.

TERCERO

Si cortas el modelo de papel por la mitad en sentido transversal, volverá a ser una tira de papel plana. Por lo tanto, la tira de Mobius que se modela es desarrollable.

Si se corta un modelo de la parametrización por la mitad, no quedará plano. No es desarrollable.

Para responder a tu pregunta, la razón por la que digo que nadie ha creado una parametrización de una banda de Mobius desarrollable, es porque hasta donde yo sé nadie lo ha hecho. Como he señalado, E.L.Starostin y G.H.M. van der Heijden han podido modelar matemáticamente una banda de Mobius desarrollable; pero su modelo no es una simple parametrización.

Te sugiero que vuelvas a tu universidad y les indiques que han perdido el tren en este caso. Es como si te dijeran que topológicamente un cubo, una esfera y un tetraedro son lo mismo, y luego dijeran que la fórmula del cubo los describe a todos.

Por cierto, estas no son las dos únicas formas geométricas que puede adoptar una banda de Mobius. Hay más por ahí esperando a ser modeladas matemáticamente.