Motivación para introducir las álgebras de von Neumann además de $C^*$ ¿algebras?

Question

Los observables son elementos autoadjuntos de un $C^*$ el álgebra. Como tal, esta estructura parece suficiente para describir la física.

Un teorema de Gelfand y Naimark dice que un $C^*$ álgebra siempre puede representarse fielmente como una subálgebra de operadores acotados en un espacio de Hilbert, $B(H)$ . A continuación, se pueden introducir diferentes topologías, y un álgebra de von Neumann puede ser visto como un $C^*$ subálgebra de $B(H)$ que además está cerrado en una de esas topologías.

En otra pregunta de intercambio de pilas de Física ¿Por qué son importantes las álgebras de von Neumann en la física cuántica? alguien también habla del cálculo funcional de Borel, y también se compara el álgebra de von Neumann con la teoría de la medida "no conmutativa" frente a la "no conmutativa" para $C^*$ álgebras.

Mi pregunta es: ¿la introducción del álgebra de von Neumann es sólo algo técnico o tiene consecuencias físicas?

Answer 1

Yo tenía la misma pregunta, cuando estudiaba el tema. Déjame decirte, lo que me dijeron - se relaciona con el cálculo funcional:

Recordemos que en la mecánica cuántica, tal y como solemos aprenderla, una medición es una medición proyectiva, es decir, los resultados de un observable medido son valores propios del observable y "actualizamos" el estado según el conocimiento obtenido (es decir, lo proyectamos en el espacio de Hilbert). Por supuesto, podemos utilizar todo el formalismo de los POVMs en su lugar si se conoce esto, pero aún así, las mediciones proyectivas siguen siendo casos especiales importantes. Por esta razón, en realidad no necesitamos nuestros observables hermitianos, pero necesitamos el cálculo espectral y el teorema espectral. Queremos que todas las proyecciones espectrales de un observable pertenezcan a nuestro espacio, ya que si medimos el observable, nuestros resultados se actualizarán según las proyecciones propias. Y aquí está el problema: las álgebras C* en general no contienen todas sus proyecciones, las álgebras de von Neumann sí. Así que la "consecuencia física" es que en realidad tienes todas tus cantidades medibles dentro del álgebra de operadores que llamas "observables". Creo que eso es lo más físico que se puede hacer. Dado que las álgebras de von Neumann siempre pueden verse como cierres de álgebras C* en alguna topología, no espero que haya razones mucho más profundas, aunque me encantaría conocerlas yo mismo, si las hay.

Otras razones que se me mencionan se refieren a la estructura de las álgebras de von Neumann (y su entramado de proyecciones) y cómo ésta entra en diferentes escenarios de la física, pero en este caso, yo diría que la razón para estudiar las álgebras de von Neumann es más bien técnica que física.

Por último, permítanme señalar que, a priori, no está claro por qué deberíamos estudiar las álgebras C* en absoluto; es decir, las únicas cantidades físicas son los operadores hermitianos, pero, genéricamente, nuestras álgebras contarán con muchos elementos no hermitianos. En mi opinión, esto significa que no hay razón para estudiar ni las álgebras C* ni las álgebras de von Neumann, sino que habría que estudiar Álgebras de Jordan (el conjunto de elementos hermitianos de los operadores acotados en algún espacio de Hilbert forma tal álgebra de Jordan, o más precisamente, un Álgebra de operadores de Jordan ). Sin embargo, como estas álgebras no son asociativas (lo cual es un inconveniente) y casi siempre se pueden incrustar en alguna álgebra asociativa, estudiamos las álgebras asociativas. Así que, en cierto sentido, estudiar las álgebras C* es ya "una cosa técnica".

Answer 2

Lista (a completar con más referencias y/o artículos, detalles de la relación con la física)

• existe una noción de representación de energía positiva (cf. axioma de Haag-Kastler, condición de "espectro" o "estabilidad") en la que los generadores de las traslaciones pueden elegirse en el álgebra de von Neumann asociada a la representación de los observables, pero no necesariamente en el propio álgebra C*. cf este apunte de la conferencia , sección II.4, Teorema de Borchers-Arveson p.37.
• El álgebra cuasi-local (marco de Haag-Kastler) se define como el límite inductivo, de una red de álgebras locales (posiblemente de von Neumann), en la categoría de C -algebras*. Haag insiste en ello en "Local Quantum Physics", p.132 en el primer párrafo, p.142 en el párrafo de observaciones. (También se menciona en la página 12 "quasi-local vs. global", Introduction to Algebraic Quantum Field Theory, S. S. Horuzhy) El álgebra cuasi-local es a su vez importante para la teoría de los sectores de superselección, que pueden definirse como una clase de equivalencia (con cuasi-equivalencia de representaciones) de representaciones primarias (=factor) del álgebra cuasi-local (los sectores de superselección no pueden definirse a partir de las representaciones de las álgebras locales solamente).

(Los límites inductivos en la categoría de álgebras de von Neumann existen, Proposición 7.I p.49, "Sur la catégorie des algèbres de von Neumann", Alain Guichardet)

• Existe una forma de tener en cuenta los operadores no limitados que se denomina operador afiliado Esto ya está presente en el primer punto. La idea es que el teorema espectral se mantiene en el marco de las álgebras de von Neumann (las proyecciones de la resolución de la identidad no están en el álgebra C* en general), por lo que si se tiene un operador autoadjunto no limitado, se pueden definir aproximaciones. (¿ref? Me he acordado de esto al releer esta respuesta )

Puntos a comprobar/desarrollar/aclarar (los diferentes puntos están probablemente relacionados):

• hay diferentes representaciones fieles de un álgebra C* incluso hasta la cuasi-equivalencia, pero sólo una para un álgebra de von Neumann. O, en la misma línea, existe una clasificación de todas las álgebras de von Neumann y no de las representaciones de las álgebras C*.
• para el álgebra $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ En este caso, se puede asociar una proyección a cada estado vectorial, es decir, un observable que pregunte si un estado arbitrario tiene una superposición con este estado particular o no. Me pregunto si una afirmación de la forma "a todo estado puro se le asocia un observable de proyección" es cierta para todas las álgebras C* o si podría haber una distinción para las álgebras C* / W*. Más generalmente a un estado de matriz de densidad, ¿el operador de matriz de densidad está en el álgebra? y ¿hay una distinción entre la situación de las C*- y la de las W*-álgebras?
• Otro punto sobre las proyecciones: el conjunto de las proyecciones de un von Neumann es un entramado y genera el álgebra, lo que no es el caso en general de un álgebra C* (cf. sin embargo esta pregunta ) y recientemente he aprendido que se trata de una estructura esencial en lógica cuántica .

Answer 3

Una razón que se me ocurre es la siguiente: los valores de expectativa en la mecánica cuántica son de la forma $\langle x|Ay\rangle$ . Buscamos una noción de convergencia en los observables.

Si tenemos un conjunto de observables $\{A_n\}$ convergiendo a algún otro observable $A$ lo que esperamos es que el valor de la expectativa del observable converja. Esta es mi motivación para la topología de operadores débiles. Por lo tanto, esperamos que el álgebra de observables sea cerrada bajo topología débil. Estas son las álgebras de Von Neumann. [Página 113 del libro de Haag]