Conjunto de límite de puntos de un subconjunto de un espacio de Hausdorff es cerrado.

Question

Deje $X$ ser un espacio de Hausdorff y $A\subset X$. Definir $A'=\{x\in X\mid x\text{ is a limit point of }A\}$. Demostrar que $A'$ es cerrado en $X$.

Información relevante: (1.) Cada vecindad de un punto de $x\in A'$ contiene un punto de $y\in A'$ distinta de la de $x$ (de hecho, en un espacio de Hausdorff, en cada barrio de $x$ contiene $\infty$-muchos puntos de $A$ distinta de la de $x$)

(2.) En un espacio de Hausdorff, cada secuencia tiene un único límite.

A primera vista, debería ser una fácil prueba, pero he hecho poco progreso. Yo estaba pensando en mostrar el $\overline{A'}=A'$. En primer lugar, $A'\subset \overline{A'}$ trivialmente. Para mostrar $\overline{A'}\subset A'$, proceder por la contradicción. Suponga que existe $x\in\overline{A'}$ tal que $x\not\in A'$. Este debe producir un fácil contradicción, pero no lo veo. En particular, estoy seguro de si el hecho de que $x\in\overline{A'}$ implica que no existe realmente una secuencia en $A'$ convergentes a $x$. Por (2) sabemos que todas las secuencias únicas de los límites, pero no sabemos que elementos en el cierre de los límites de las secuencias? Si esto es cierto, se debe producir un fácil contradicción. Alguna ayuda?

Answer 1

Es más fácil demostrar que $X \setminus A^\prime$ está abierto. Si $x \in X \setminus A^\prime$, $x$ no es un punto límite de $A$, por lo que existe un abierto de vecindad $U$ $x$ tal que $U \cap A \subseteq \{ x \}$. Esto es suficiente para mostrar que ningún otro punto de $U$ (es decir, no hay punto de $U \setminus \{ x \}$) es un punto límite de $A$. Desde $X$ es Hausdorff,¹ se sigue que $U \setminus \{ x \} = U \cap ( X \setminus \{ x \} )$ está abierto. Por elección de $U$ sabemos que $( U \setminus \{ x \} ) \cap A = \varnothing$. Por lo tanto $U \setminus \{ x \}$ testigos de que ninguno de sus puntos límite de puntos de $A$. Por lo $x \in U \subseteq X \setminus A^\prime$.

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¹_{La separación axioma T1 es suficiente.}

Answer 2

Si $x\in\overline{A'}$, a continuación, abrir cada vecindario $U$ $x$ contiene un punto de $y\in A'$. Desde $U$ es también un barrio de $y$, el T$_1$ propiedad garantiza que $U$ contiene una infinidad de puntos de $A-\{y\}$. Esto demuestra que $x$ es un punto de acumulación de a $A$, es decir,$x\in A'$. Tenga en cuenta que Hausdorffness no es necesario para este trabajo.

En cuanto a tu pregunta acerca de las secuencias: En general, usted no puede asumir que existe una secuencia en la $S$ que converge a $x$ si $x\in\overline S$. En la primera contable de los espacios, sin embargo, esto es cierto.

Answer 3

Demostrar que el complemento es abierto. Deje $x \in X \setminus A'$. Entonces existe un abierto vecindario $U$ $x$ tal que $U \cap A$ está vacío o es $\{x\}$. Si $U$ contenía alguno de los miembros de $A'$, $U$ se cruzarían $A$ en infinidad de puntos desde $X$ es Hausdorff, por lo $U \subseteq X \setminus A'$.