Lógica NO de una implicación

Question

Estuve revisando mis apuntes pero no pude encontrar la respuesta a esto, que necesito para empezar la pregunta de la asignación.

¿Qué sería lo siguiente, en términos de mover la negación dentro de los paréntesis y mantener la implicación?

$\neg (p \rightarrow q)$

Answer 1

Recordemos que $p\rightarrow q$ equivale a $\lnot p\lor q$ . Desde aquí:

$$\lnot(p\rightarrow q)\iff\lnot(\lnot p\lor q)\iff \lnot\lnot p\land\lnot q\iff p\land\lnot q$$

Se puede considerar la tabla de verdad:

$$\begin{array}{ c | c || c | c |} p & q & p\rightarrow q & \lnot(p\rightarrow q) \\ \hline \text T & \text T & \text T & \text F\\ \text T & \text F & \text F & \text T \\ \text F & \text T & \text T & \text F \\ \text F & \text F & \text T & \text F \end{array}$$

Y de esto podemos ver que $\lnot(p\rightarrow q)\iff p\land\lnot q$ .

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También es visible que $\rightarrow$ tiene un valor Verdadero tres de cada cuatro veces. Así que $\lnot(p\rightarrow q)$ no puede escribirse como $\lnot p\rightarrow q$ o como una propuesta similar utilizando sólo un $\rightarrow$ .

Esto se debe a que decir que $p$ no implica $q$ no dice nada sobre $p$ que implica $\lnot q$ o alrededor de $\lnot p$ que implica $q$ .

Answer 2

Desde $p\to q\equiv \lnot p\vee q$ podemos aplicar las leyes de DeMorgan para ver que

$\lnot(p\to q)\equiv \lnot(\lnot p\vee q)\equiv p \wedge \lnot q$ . Puedes escribir una tabla de verdad del lado izquierdo de la fórmula y del lado derecho para afirmar aún más la afirmación.

Answer 3

Usted (u otros lectores de esta pregunta) podría estar interesado en el análisis aquí y los puestos relacionados.

Answer 4

Interpreto que tu pregunta es básicamente "¿podemos escribir una fórmula F lógicamente equivalente a ¬(p→q) donde F 1. es un condicional y 2. tiene una negación en algún lugar dentro del condicional?" La respuesta es sí. Intentaré explicar cómo he visto esto primero antes de proporcionar una fórmula real que lo haga.

En primer lugar, dado que esta pregunta se refiere a la conectiva primaria de un enunciado lógico, vamos a reescribir todas las fórmulas en notación de prefijo. En otras palabras, vamos a reescribir todas las fórmulas de manera que todas las operaciones lógicas precedan a sus argumentos (por ejemplo, (p→q) se convierte en →pq). El primer símbolo de una fórmula en notación de prefijo indica el tipo de enunciado. Así, nuestro problema se convierte en encontrar una fórmula con "→" como primer símbolo con un símbolo de negación en algún otro lugar de la fórmula.

Ahora la implicación y la negación forman un conjunto de conectivas adecuadas para la lógica proposicional (de dos valores). En otras palabras, todas las fórmulas en la lógica proposicional (de dos valores) vienen como equivalentes, en notación de prefijo, a una fórmula que tiene un símbolo condicional o un símbolo de negación como su primer símbolo. Ahora bien, el trazo de Sheffer "D", o negación alternativa (NAND), consiste por sí mismo en una conectiva adecuada; donde D puede definirse mediante la siguiente tabla con 0 simbolizando falsedad y 1 simbolizando verdad:

D  0  1
0  1  1
1  1  0

Las siguientes equivalencias lógicas (==) se mantienen: 1. Dxx == ¬x, 2. Dxy == →x¬y. Ahora bien, dado que todas las fórmulas vienen como equivalentes a un condicional o a una negación, y que todo condicional o negación viene como equivalente a una fórmula del Trazo de Sheffer, y que toda fórmula del Trazo de Sheffer viene como equivalente a un condicional con una negación en algún lugar dentro de ese condicional por 2., se sigue que todas las fórmulas de la lógica proposicional clásica vienen como equivalentes a tal condicional. Uno podría hacer un argumento similar usando la flecha de Peirce, o la negación conjunta (NOR).

Entonces, ¿cómo podría ser "¬(p→q)" o, de forma equivalente, "¬→pq" como condicional? Pues bien, sustituyendo →pq por x en el punto 1. anterior, tenemos que ¬→pq viene a ser lógicamente equivalente a D→pq→pq. A continuación, sustituyendo →pq tanto por x como por y en 2. arriba tenemos D→pq→pq como lógicamente equivalente a →→pq¬→pq. En notación infija eso va ((p→q)→(¬(p→q))).

Answer 5

La forma equivalente de esta afirmación con las negaciones dentro de los paréntesis y manteniendo la implicación se puede construir si utilizamos la relación lógica contraposición por lo que podemos escribir lo siguiente:

$\lnot(p\Rightarrow q) \Leftrightarrow \lnot(\lnot q \Rightarrow \lnot p)$

pero no puedes escribir ninguna forma que satisfaga tus condiciones sin la negación delante de los paréntesis.