Una desigualdad sobre la inercia positiva del índice de dos matrices simétricas. $P_{A+B}\leq P_A +P_B$

Question

Suponga $A$ $B$ son reales matrices simétricas de orden $n$. Me indican el número de la positiva autovalores de las matrices de $A,B,A+B$ $P_A,P_B,P_{A+B}$ respectivamente. Demostrar que: $$P_{A+B}\leq P_A +P_B$$.

Answer 1

Este es un corolario de la Weyl del teorema de autovalores. Uno de sus declaraciones dice que $$ \lambda_i(a+B)\leq\lambda_{i+j}(A)+\lambda_{n-j}(B) \qquad\text{para $j=0,\ldots,n-i$}, $$ donde $A,B$ $n\times n$ real simétrica o complejo de Hermitian y los valores se ordenan de manera que $\lambda_1(\cdot)\leq\cdots\leq\lambda_n(\cdot)$. Quiere mostrar que $P_{A+B}\leq P_A+P_B$, que es el mismo que $$\lambda_{n-(P_A+P_B)}(A+B)\leq 0.$$ Para mostrar que el uso de la desigualdad anterior con $i=n-(P_A+P_B)$$j=P_B$.