La recuperación de un grupo de grupo de álgebra $\mathbb{Z}$

Question

Pregunta: ¿Es posible recuperar un número finito de grupo de grupo de álgebra $\mathbb{Z}$?

Más precisly. Por $G_1$ $G_2$ denotamos dos grupos finitos. Deje $\mathbb{Z} ( G_1 )$ $\mathbb{Z} ( G_2 )$ ser álgebras de grupo. Supongamos que $\mathbb{Z} ( G_1 )$ es isomorfo $\mathbb{Z} ( G_2 )$ como álgebras. Es $G_1$ isomorfo a $G_2$?

Comentario. Es bastante obvio que no son isomorfos grupos finitos $G_1$ $G_2$ tal que $\mathbb{C} ( G_1 )$ es isomorfo $\mathbb{C} ( G_2 )$. Por ejemplo, dos abelian grupos de la misma orden.

Answer 1

Esta pregunta tiene una larga historia en la literatura matemática. Probablemente fue sugerida por primera vez por G. Higman en 1941 ( que demostró que un número Finito de Abelian grupo está determinado por su grupo integral de anillo). No isomorfos grupos finitos con isomorfo grupo de anillos sobre los enteros han sido construidos por Martin Hertweck, y el artículo fue publicado en los Anales de las Matemáticas alrededor del año 2000.