$f(x)$ es no negativo y $ \int_a^bf(x)dx = 1 $ , demuestran que $ [\int_a^bf(x)\cos{kx}dx]^2 + [\int_a^bf(x)\sin{kx}dx]^2 \leq 1 $

Question

Supongamos que $f(x)$ es no negativo e integrable en $[a, b]$ y que $ \int_a^bf(x)dx = 1 $ . Demostrar que $$ [\int_a^bf(x)\cos{kx}dx]^2 + [\int_a^bf(x)\sin{kx}dx]^2 \leq 1.$$ Gracias.

Hay un indicio de que el problema tiene algo que ver con la desigualdad de Cauchy-Schwarz y tiene una solución elemental sencilla.

Answer 1

$$ \left[\int_a^bf(x)\cos kx dx\right]^2 + \left[\int_a^bf(x)\sin kx dx\right]^2= $$ $$ \int_a^b\int_a^bf(x)\cos kx f(y)\cos kydxdy + \int_a^b\int_a^bf(x)\sin kx f(y)\sin kydxdy = $$ $$ \int_a^b\int_a^bf(x)f(y)cos(kx-ky)dxdy\le $$ $$ \int_a^b\int_a^bf(x)f(y)dxdy=\left[\int_a^bf(x)dx\right]^2=1. $$

Answer 2

La medida $d\mu (x)=f(x) dx$ es una medida de probabilidad por supuesto. Por lo tanto, la desigualdad de Jensens da como resultado

$$ (\int \sin(x) f(x)\, dx)^2 = (\int \sin(x) \,d\mu)^2 \leq \int (\sin(x))^2 \,d\mu =\int (\sin(x))^2 f(x)\, dx. $$

La misma estimación es válida para $\cos$ . Sumando estas estimaciones se termina la prueba.

Answer 3

Por Cauchy Schwarz,

$ [\int_a^bf(x)\cos{kx}dx]^2 + [\int_a^bf(x)\sin{kx}dx]^2$ $\begin{align}&=[\int_a^b\sqrt{f(x)}\sqrt{f(x)}\cos{kx}dx]^2 + [\int_a^b\sqrt{f(x)}\sqrt{f(x)}\sin{kx}dx]^2 \\&\leq \int_a^bf(x)dx\int_a^bf(x)\cos(kx)^2dx+\int_a^bf(x)dx\int_a^bf(x)\sin(kx)^2dx \\&=\int_a^bf(x)dx\\&=1 \end{align}$

Answer 4

Otra solución más (apoyo a este tipo ):

$$ [\int_a^bf(x)\cos{kx}dx]^2 + [\int_a^bf(x)\sin{kx}dx]^2=\left | \int_{a}^{b} f(x)e^{ikx}dx\right |^{2}\leq \left(\int_{a}^{b}\left | f(x)e^{ikx} \right |dx\right)^{2}=1$$