Olimpíadas De Matemáticas, Algebraicas Pregunta Consta De Raíces Cuadradas

Question

Si $m$ $n$ son números reales positivos que satisface la ecuación de $$m+4\sqrt{mn}-2\sqrt{m}-4\sqrt{n}+4n=3$$ encontrar el valor de $$\frac{\sqrt{m}+2\sqrt{n}+2014}{4-\sqrt{m}-2\sqrt{n}}$$

Me encontré con esta pregunta en una Olimpiada de Matemáticas de la Competencia y no tenía idea de cómo resolverlo. Alguien puede ayudar? Gracias.

Answer 1

Puede ser útil para deshacerse de la raíz cuadrada de símbolos. Si dejas $m=x^2$ $n=y^2$ $x$ $y$ entiende positivo, la ecuación se convierte en $x^2+4xy-2x-4y+4y^2=3$, que puede escribirse como

$$(x+2y)^2-2(x+2y)=3$$ o $$u^2-2u-3=0\qquad\text{with}\quad u=x+2y$$

El cuadrática factores como $(u-3)(u+1)=0$. Recordando que $x=\sqrt m$ $y=\sqrt n$ se supone que ser positivo, esto da $u=x+2y=3$ como la única solución significativa. También vemos que el valor que buscamos es

$${x+2y+2014\over4-(x+2y)}={3+2014\over4-3}=2017$$

Answer 2

La respuesta es trivial para darse cuenta de que m = 1 y n = 1 cumple con el primer criterio, por lo que los puedes utilizar en la segunda ecuación.

Pero eso no es muy divertido.

Answer 3

Dado: $m$ $n$ son números reales positivos que satisface la ecuación

$$m+4\sqrt{mn}-2\sqrt{m}-4\sqrt{n}+4n=3$$

Para conseguir una mejor sensación, sustituto

$\sqrt{m}=x$

$\sqrt{n}=y$

Ahora, la ecuación se convierte en

$x^2+4xy-2x-4y+4y^2=3$

La combinación de primero, segundo y último término de la L. H. S. , nos,

$(x+2y)^2-2(x+2y)=3$

Sustituto: $(x+2y)=t$ a obtener,

$t^2-2t-3=0$

$\implies t=3$ o $t=-1$

Pero desde $t=x+2y=\sqrt{m}+2\sqrt{n} \implies t \ge 0$ (Desde $\sqrt{}$ da valor positivo en su dominio)

$\implies \sqrt{m}+2\sqrt{n}=3$

$\implies \dfrac{\sqrt{m} +2\sqrt{n} +2014}{4-(\sqrt{m} +2\sqrt{n})}= \boxed{2017}$

Answer 4

Tenemos $$ \begin{align*} m+4\sqrt{mn}-2\sqrt{m}-4\sqrt{n}+4n&=3\\ m+4\sqrt{mn}+4n-2\sqrt{m}-4\sqrt{n}-3&=0\\ (\sqrt{m}+2\sqrt{n})^2-2(\sqrt{m}+2\sqrt{n})-3&=0\\ (\sqrt{m}+2\sqrt{n}-3)(\sqrt{m}+2\sqrt{n}+1)&=0 \end{align*} $$ lo que da $$ \sqrt{m}+2\sqrt{n}=3\,\,\text{o}\,\,\sqrt{m}+2\sqrt{n}=-1. $$ Podemos hacer caso omiso de la segunda solución de ($m$$n$ son reales así $$ \frac{\sqrt{m}+2\sqrt{n}+2014}{4-\sqrt{m}-2\sqrt{n}}=\frac{3+2014}{4-3}=2017. $$