Abierto Conjuntos Medibles Que Contiene Todos Los Números Racionales

Question

Así que estoy tratando de averiguar de una prueba para la siguiente declaración, pero no estoy realmente seguro de cómo ir sobre ella. La declaración es: "Mostrar que para cada $\epsilon>0$, existe un conjunto abierto G en $\mathbb{R}$ que contiene a todos los números racionales, sino $m(G)<\epsilon$." ¿Cómo puede ser cierto que el conjunto abierto G contiene todos los números racionales, pero tiene una arbitrariamente pequeña medida?

Answer 1

Elaborar en otras respuestas, vamos a $\{r_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ ser una enumeración de todos los números racionales. Esto es posible debido a $\mathbb{Q}$ es contable. Para cada número de $r_n$, elija el intervalo abierto $(r_n - 2^{-n-1} \epsilon, r_n + 2^{-n-1} \epsilon)$. Cada intervalo abierto es un conjunto abierto. La unión de todos los intervalos que también está abierto. La medida de cada intervalo es su longitud $2^{-n} \epsilon$. Si $G$ es la unión de estos intervalos, tenemos:

$$ m(G) \le \sum_{n=1}^{\infty} 2^{n} \epsilon = \epsilon $$

Donde la suma anterior es una serie geométrica.

Answer 2

Los racionales son numerable. Enumerar ellos y, a continuación, elija un intervalo de longitud de menos de $\epsilon/2^n$$n\ge 1$. Deje $G$ ser la unión de estos intervalos. Se ha de medir menos de $\epsilon$ y contiene todos los racionales.

Answer 3

Sugerencia: si el orden de los racionales, usted puede poner un intervalo alrededor de cada uno de los sucesivos y tomar la unión para su conjunto. Si los intervalos de disminución de la longitud lo suficientemente rápido....