Encontrar $n$ $k$ si $\:\binom{n\:}{k-1}=2002\:\:\:\binom{n\:}{k}=3003\:\:$

Question

$$ \:\binom{n\:}{k-1}=2002\:\:\:\binom{n\:}{k}=3003\:\: $$

¿Cuáles son los valores de n y k?

Mi idea inicial era dividir a los dos:

$$\frac{\binom{n\:}{k-1}}{\binom{n\:}{k}}=\frac{2002}{3003}\:\:$$

$$\frac{\frac{n!}{\left(k-1\right)!\left(n+1-k\right)!}}{\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}}\:=\frac{2}{3}$$

$$ \frac{k}{n+1-k}\:=\frac{2}{3} $$

Después de que la suma de ellos:

$$\binom{n\:}{k-1}+\binom{n\:}{k}=\binom{n+1\:}{k}=5005$$

Y ahora repartir el tercero, con el primer término y a solucionar todo. Sin embargo me gustaría conseguir dos veces $5k = 2n+2$ y ese es el problema.

Answer 1

Ya ha encontrado que $\frac{k}{n-k+1}=\frac23$, del que se desprende que $$\frac32=\frac{n-k+1}{k}=\frac{n+1}{k}-1,$$ por lo $n=\tfrac52k-1$, lo que también muestra que $k$ es un múltiplo de a $2$ y $n+1$ es un múltiplo de a $5$. Deje $k:=2m$, de modo que $n=5m-1$. Conectando de nuevo en a $\tbinom{n+1}{k}=5005$ rendimientos $$5005=\binom{n+1}{k}=\frac{(n+1)!}{(n-k+1)!k!}=\frac{(5m)!}{(3m)!(2m)!}.$$ Usted podría tomar nota de que $n\geq13$ debido a que tanto $2002$ $3003$ son múltiplos de $13$, y que, por ende,$m\geq3$. De cualquier manera, tratando de pequeños valores de $m$ muestra que $m=3$ obras.

Answer 2

Originalmente me hizo una gran versión de Triángulo de Pascal después de decirle a mi padre que el número total de regalos en Los Doce Días de Navidad canción fue $$ \:\binom{14\:}{3} = 364$$ and he complained, "What's wrong with $12?$" I tried to explain how the cumulative sums along the diagonals introduce a bit of an offset, The number of new gifts on day $n$ is $ \:\binom{n\:}{1},$ the total gifts on day $n$ is $ \:\binom{n + 1\:}{2},$ the total gifts on all days up to and including day $n$ is $ \:\binom{n + 2\:}{3}.$ He didn't like it. Later, I found a piece of paper where he had carefully written out the sums in $\Sigma$ notación, y tenía razón, por supuesto.

De vuelta a este problema, siempre me ha gustado que las sucesivas entradas en la fila $14$ dar $1001,2002,3003.$ me pregunto si eso llega a suceder de nuevo, $A,2A,3A?$ tal vez no: esto parece dar una respuesta completa: Encontrar tres entradas consecutivos de una fila del triángulo de Pascal que están en la relación de 1 : 2 : 3