Área del triángulo en forma determinante

Question

Área del triángulo con vértices $(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$ está dada por :

$$\frac{1}{2}\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1\\x_2 & y_2 & 1\\x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}$$

En este determinante si tomamos todas las coordenadas de los números racionales, nunca vamos a llegar a un número irracional como una respuesta.

¿Significa eso que en un triángulo de área no puede nunca ser irracional si sus coordenadas son racionales? (porque yo no lo creo) También,no hay nada ni remotamente similar en 3d para el cordón de la fórmula?

Answer 1

Sí, de hecho, una consecuencia directa de los cordones de los zapatos de la fórmula es que un triángulo (polígono convexo), teniendo todos sus vértices con rational coordenadas tiene un racional área. Es una buena técnica para mostrar que no hay ningún triángulo equilátero en $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$, demasiado.