Cuando $2^\alpha = 2^\beta$ implica $\alpha=\beta$ ($\alpha,\beta$ cardenales)

Question

Lo siento si es una pregunta tonta. Me preguntaba, ¿en qué axiomas de la teoría de conjuntos es cierto que si $\alpha$,$\beta$ son los cardenales, y $2^\alpha=2^\beta$, entonces $\alpha=\beta$? Hacer uso de la gente de estas condiciones de demostrar resultados interesantes?

Esta pregunta se pide a partir de un reciente hojeando de Johnson "Temas en la Teoría de Presentaciones de Grupo", donde en las primeras páginas se "demuestra" libre de grupos de diferente rango no son isomorfos: el número de asignaciones de un grupo libre de rango $\omega$ para el grupo de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ es $2^\omega$, que sería invariante bajo isomorfismo; y luego se supone que el tema de mi pregunta: $2^\alpha=2^\beta$ implica $\alpha=\beta$.

Pero yo recuerdo haber leído algo hace un par de años acerca de un estudiante de R. L. Moore (solo recuerdo su apellido era Jones) "probar" el Moore Espacio conjetura, y el uso que $\alpha > \beta$ implícita de $2^\alpha > 2^\beta$, pero que esto es incorrecto.

De todos modos, me di cuenta de que no sé nada acerca de cuando esta es verdadera o falsa, así que pensé en preguntarle.

Answer 1

François le da a la correcta respuesta afirmativa. Por el lado negativo, el método usual de demostrar que la negación de la Continuidad Hipótesis es consistente con ZFC es utilizar el método de forzar a agregar Aleph₂ muchos Cohen reales, de modo que 2^ω = ω₂ en el forzamiento de la extensión de V[G]. En este modelo V[G], también es cierto que 2^ω₁ = ω₂. Por lo tanto, este modelo muestra que esto no es necesariamente cierto que los diferentes tamaños de los conjuntos de los diferentes tamaños de conjuntos de poder. El caso de los grupos simétricos es probablemente más interesante de la libertad de los grupos, porque en este modelo, los grupos simétricos S_ω y S_ω1 tienen la misma cardinalidad ω₂. Sin embargo, estos dos grupos no isomorfos, como se explica en este MO pregunta.

La respuesta general acerca de lo que puede ser cierto para la continuidad de la función κ --> 2^κ es exactamente proporcionada por Easton del Teorema. Este notable teorema establece que si usted tiene alguna función de la clase E, que se define en el regular cardenales κ, con las propiedades que

• κ ≤ λ implica que E(k) ≤ E(λ)
• κ < E(κ)
• κ < Cof(E(κ))

entonces hay una forzando la extensión de V[G] en el que 2^κ = E(κ) para todos los regulares cardenal κ. En particular, esto demuestra que los tamaños de los conjuntos de poder (en regular cardenales) se limita a obedecer sólo y exactamente la hipótesis explícitamente enumeradas anteriormente. Cada una de estas propiedades se corresponde con un hecho bien conocido sobre el cardenal exponententiation.

El uso de Easton teorema, podemos construir modelos de la teoría de conjuntos, donde 2^κ = κ⁺⁺ para todos los κ. El agregado de poder de la Woodin/Capataz resultado mencionado por François es que ellos también consiguen este singular para los cardenales.

El punto ahora es que hay innumerables ejemplos proporcionados por Easton del teorema que satisfacer su hipótesis de que la continuidad de la función es uno a uno. Si uno comienza con un modelo de GCH y selecciona cualquier inyectiva Easton función de E, entonces el modelo resultante de la teoría de conjuntos V[G] se tiene E como la continuidad de la función κ --> 2^κ = E(κ) para regular κ, y la GCH se mantendrá en singular κ, la preservación de la inyectividad. De modo que uno es muy libre para satisfacer sus hipótesis, mientras que tener cualquier clase de loco fracasos de la GCH.

Answer 2

La generalización de la Hipótesis continua, es decir, $2^\kappa = \kappa^+$ por cada infinita cardenal $\kappa$, implica el resultado deseado, pero se puede sostener en otras circunstancias. Por ejemplo, Woodin se ha demostrado que es relativamente consistente con la existencia de un supercompact cardenal que $2^\kappa = \kappa^{++}$ para cada infinita cardenal $\kappa$. (Véase el Capataz y Woodin, la generalización de La hipótesis continua puede fallar en todas partes, en los Anales de las Matemáticas 133, 1991, 1-35.)

La declaración de $2^{\aleph_0} < 2^{\aleph_1}$ es conocido como el Débil Diamante Principio. Este principio fue introducido por Devlin y Sela (Una versión débil de $\diamondsuit$ que sigue a partir de $2^{\aleph_{0}}<2^{\aleph_{1}}$, Israel J. Math. 29, 1978, 239-247). Este principio ha sido muy útil como un sustituto para el más fuerte de la enumeración de principios tales como la Hipótesis continua y Jensen Diamante Principio $\diamondsuit$. Creo que el Débil Diamante Principio fue inspirado por el Sela en la Whitehead Problema (que puede estar relacionado con su grupo de teóricos de la aplicación).

Answer 3

Una cosa que es muy fácil, suponiendo que $2^\alpha < 2^\beta$ cuando $\alpha <\beta$ está mostrando que para los conjuntos $S_1$ y $S_2$ de diferentes cardinalidades, los espacios de Banach que $\ell_\infty(S_1)$ y $\ell_\infty(S_2)$ no son isomorfos. De esta manera se sigue inmediatamente del hecho de que por un conjunto infinito de $S$, el más pequeño posible de la cardinalidad de un subconjunto denso de $\ell_\infty(S)$ es $2^{|C|}$.

Si no se asume que $2^\alpha = 2^\beta$ implica $\alpha =\beta$, entonces uno debe volver a algún otro argumento. No he pensado acerca de este problema en longitud, por lo que no puede ser mucho más simples razones por las que $\ell_\infty(S_1)$ y $\ell_\infty(S_2)$ no puede ser isomorfo al $S_1$ y $S_2$ tienen diferentes cardinalidades (sin asumir $2^\alpha = 2^\beta\Rightarrow\alpha =\beta$), pero es una manera en lugar de considerar el mínimo posible de cardinalidad de una norma subconjunto denso de un arbitrario débilmente compacto subconjunto de $\ell_\infty(S) de dólares. En este caso, un resultado de Haskell Rosenthal afirma que de los $S$ infinito y débilmente compacto $W \subseteq \ell_\infty (S)$, $W$ admite una norma densa subconjunto de cardinalidad no mayor a $|S|$. Por otro lado, un argumento estándar muestra que $\ell_2 (S)$ (en realidad, cualquier espacio de Banach de densidad de carácter no superior a $|S|$) es isomorfo a un subespacio de $\ell_\infty (S)$ (generalizar el argumento estándar que cada Banach separable espacio incrusta en $\ell_\infty$). Por lo tanto, si $\alpha$ y $\beta$ son los cardenales con $\alpha <\beta$, entonces $\ell_2 (\beta )$ es isomorfo a un subespacio de $\ell_\infty (\beta )$, pero no a un subespacio de $\ell_\infty (\alpha)$. Por lo tanto $\ell_\infty (\alpha )$ y $ \ell_\infty (\beta)$ no son isomorfos.

El resultado de Rosenthal citado anteriormente de su papel "En la inyectiva espacios de Banach y espacios de $L_\infty (\mu )$ finitas medidas $\mu$".

Answer 4

François y Joel respuestas a la pregunta general es correcta.

En cuanto a la "dimensión de un grupo libre está determinada únicamente, incluso si es infinito", hay un mejor argumento. Deje que G sea un grupo en dos conjuntos de generadores de x y y; queremos mostrar |x| = |y|. Primero vamos a Un = G_ab ser el libre abelian grupo de generadores de x y y; a continuación, vamos a V = Un ⊗_ZF₂ sea el espacio vectorial sobre F₂ con bases de x y de y, de modo que |V| = 2^|x| = 2^|y| (huelga que, es falso infinito cardinalidades). (Podríamos usar cualquier campo, pero el argumento es más complejo.)

Si |V| es finito, entonces |x| = |y| se sigue inmediatamente. Así que supongamos que |V| es infinita, de modo que |x| y |s| son infinitas. Cada elemento de x es la suma de un número finito de elementos de y, y cada elemento de y debe aparecer en al menos uno de esos suma (żpor qué?). Esto significa que |y| ≤ |x|•ℵ₀ = |x| (cardenal de la aritmética). Del mismo modo |x| ≤ |y|, entonces |x| = |y|.