Soluciones para la ecuación de $ \tbinom n3=m^2$

Question

Desde 'las Pruebas del libro', afirmó que $ \tbinom n3=m^2$ tiene la solución única n=50,m=140. Pero, ¿cómo podemos probar que esto es así?

La expansión de la ecuación anterior los rendimientos $n(n-1)(n-2)=6m^2$ que puede ser factorised en $(n-1)^3-(n-1)=6m^2$ que es una ecuación de diophantine. ¿Cómo puedo probar que no hay ningún otro (positivo) de entero de las soluciones de esta ecuación?

Answer 1

Deje $p\neq 2,3$ un divisor primo de $m$. Desde $p$ puede dividir sólo uno de $n$, $n-1$ o $n-2$, llegamos a la conclusión de que, aparte de la plaza de los factores, las únicas posibilidades para $(n,n-1,n-2)$ son: $$(6,1,1);(2,3,1);(2,1,3);(3,2,1);(1,2,3);(1,6,1);(3,1,2);(1,3,2);(1,1,6)$$ Es simplemente para excluir (6,1,1) y (1,1,6), porque no se puede tener dos días consecutivos de la plaza. En el caso (2,3,1) deben, en particular, la relación $a^2+1=3b^2$, y por la teoría estándar de la ecuación de pell usted sabe que no hay solución. De manera similar se excluyen los casos (3,1,2) (1,2,3) y (1,6,1). Ahora, considere el caso (2,1,3). Esto es equivalente al siguiente sistema de ecuaciones de pell: $$\begin{cases} b^2-3a^2=1\\ b^2-2c^2=-1 \end{casos}$$ Utilizando de nuevo la teoría sobre la ecuación de pell puede encontrar a la familia de solución de $(b_k,a_k)$ $(b_k,c_k)$ para las dos ecuaciones, y busca una coincidencia de la $b_k$ de las dos de la familia. Dado que uno de la secuencia crece exponencialmente más rápido que el otro, basta con comprobar sólo un par de $k$. Usted encontrar la única solución de $a_k=4, b_k=7, c_k=5$, que corresponde a la triple $(50,49,48)$. En el caso de $(1,3,2)$ $(3,2,1)$ continuar en el mismo camino y te encuentras con que no hay otras soluciones.