Hay una racionalidad-la preservación del orden isomorfismo entre el $\mathbb{Q}$ y dos abiertos disjuntos intervalos?

Question

Tengo una tarea de pregunta en la introducción de la lógica supuesto, parte de la cual me obliga a

Encontrar un fin de preservar el isomorfismo entre el$\mathbb{Q}$$\mathbb{Q} \cap ((0,1) \cup (2,3))$.

Por lo tanto, necesito un isomorfismo entre el $\mathbb{Q}$ y dos intervalos que conserva el orden y la racionalidad.

Estoy familiarizado con cómo hacer esto para cualquier intervalo abierto. Por ejemplo,

$$f(x) = \frac{x}{1+|x|}$$

mapas de $\mathbb{Q}$ bijectively a $(-1,1)$, la preservación del orden y la racionalidad. A partir de esto puedo componer $f$ con algún que otro simple bijection a la mapa $\mathbb{Q}$ a cualquier intervalo abierto.

Me imagino que es conveniente comenzar de nuevo por aplicar la función $f$, de modo que la tarea se reduce a encontrar un mapa de $(-1,1)$ a $\mathbb{Q} \cap ((0,1) \cup (2,3))$. Mi primer pensamiento fue que si yo intento de dividir a $(-1,1)$ a un número racional $q \in (-1,1)$, entonces yo sería el dilema de dónde mapa de $q$ a preservar el orden. Entonces me di cuenta de que necesitaba split $\mathbb{Q}$ a un número irracional $\alpha \in (-1,1)$. De esta manera no necesito mapa de $\alpha$ a nada, y el orden serán conservados de forma automática, siempre puedo encontrar un mapa que envían $(-1,\alpha)$$(0,1)$$(\alpha, 1)$%#%. Sin embargo no puedo encontrar una manera de hacer esto que conserva la racionalidad.

Me imagino que lo que estoy tratando de hacer es imposible, pero el Cantor del teorema en unbounded contables densa lineal órdenes garantiza que algunas isomorfismo existe. (Si estoy interpretando correctamente).

Es allí una manera de conseguir alrededor de la irracionalidad problema? O estoy fuera?

Answer 1

Mientras que un dolor, construir algo inductivamente debe ser sencillo. Observar, por ejemplo,

$$ (-\infty, \sqrt{2}) = (-\infty, 0] \cup (0, 1] \cup (1, 1.4] \cup (1.4, 1.41] \cup \ldots $$

Answer 2

Este simple método me parece que funciona bien para mí, tal vez me estoy perdiendo algo. Primer mapa de $\mathbb Q$ a un intervalo abierto como $\langle0,1\rangle$ como por su método. A continuación, utilice la función de $x\mapsto 1/(2x^2-1)$. Se ve que toma el intervalo de $\langle0,1/\sqrt2\rangle$ menos en $\langle-\infty,-1\rangle$ $\langle1/\sqrt2,1\rangle$ del mismo modo cada vez menos en $\langle1,\infty\rangle$, Pero su método, una vez más, puede tomar una infinidad de composición abierta intervalo de los números racionales para un determinado intervalo abierto de los números racionales, de modo que usted puede cocinar un resultado final cuya imagen (rango) es $\langle0,1\rangle\cup\langle2,3\rangle$.

EDIT: Como @BrianM.Scott señala en un comentario, este mapa no es sobre. Si yo había estado pensando un poco más abstracta, me habría dado cuenta de que un grado de dos de la función racional a partir de un intervalo en $\mathbb Q$ to an interval can't possibly be onto, any more than $x\mapsto x^2$ maps $\langle0,1\rangle$ a sí mismo cuando se limita a racional valores de dominio y codominio.

Así que creo que un método como el de @Hurkyl tiene que ser la única manera de hacer lo que queremos.