9 votos

La construcción de la global $\mathbf{Proj}$

Tengo muchas dudas acerca del muy abstracto concepto de global $\mathbf{Proj}$. Estoy siguiendo Hartshorne del libro de Geometría Algebraica, donde este concepto es en II.7, página 160.

Deje $(X, \mathcal{O}_{X})$ ser un noetherian esquema y $\mathcal{S} = \bigoplus_{d \geq 0} \mathcal{S_{d}}$ un cuasi coherente gavilla de $\mathcal{O}_{X}$-módulos, que tiene una estructura de una gavilla de graduados $\mathcal{O}_{X}$-álgebras. Suponga que $\mathcal{S}_{0} = \mathcal{O}_{X}$, $\mathcal{S}_{1}$ es un coherentes $\mathcal{O}_{X}$-módulo y que $\mathcal{S}$ es generada localmente por $\mathcal{S}_{1}$ $\mathcal{O}_{X}$- álgebra. Por qué esto implica $\mathcal{S}_{d}$ es coherente para todos los $d \geq 0$?

Para la construcción de la global $\mathbf{Proj}$, para cada afín subconjunto $U = \mathrm{Spec} A$$X$, vamos a $\mathcal{S}(U) = \Gamma(U, \mathcal{S}|_{U})$, que es un graduado $A$-álgebra. Entonces tenemos un natural de morfismos $\pi_{U}: \mathrm{Proj} \mathcal{S}(U) \rightarrow U$. Deje $f \in A$$U_{f} = \mathrm{Spec} A_{f}$. Hartshorne afirma que, desde la $\mathcal{S}$ es cuasi coherente tenemos $\mathrm{Proj} \mathcal{S}(U_{f}) \cong \pi_{U}^{-1}(U_{f})$. Por qué? No puedo ver eso.

En mi opinión, el global $\mathbf{Proj}$ es un concepto abstracto que no puedo conseguir ningún ejemplo concreto de la voladura. ¿Sabes que un libro donde puedo encontrar ejemplos concretos?

Gracias!

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X