Simbólica de las coordenadas de un hiperbólico de la cuadrícula?

Question

De reformulación (un año después) (pregunta original es de abajo)
_{Al parecer, la pregunta original no estaba claro, o nadie sabe una respuesta (o ambos). Así que voy a intentar reformular.}

Mira a tu favorito hiperbólico de la cuadrícula. En esta pregunta se pide un sistema de etiquetado para los puntos.

Por supuesto, podríamos dibujar la cuadrícula en el disco de Poincaré, y el uso de números reales (x,y) las coordenadas de cada punto), pero en la práctica que recaudar todo tipo de precisión cuestiones que seguramente podrían evitarse si uno tenía un adecuado simbólico del sistema de coordenadas. Usted no necesita los números reales si te vas a quedar en los puntos de cuadrícula!

Como (2,3)+(0,1) es trivial para hacer a mano (o en la cabeza) por el cuadrado de la cuadrícula, nos gustaría alguna forma de simbólico coordenadas (es decir, que consta de secuencias finitas de símbolos) para una hiperbólica de la cuadrícula, en la que las simples operaciones en pequeña cuadrícula de vectores son igualmente fácil.

Si usted toma alguna secuencia de la izquierda y la derecha se convierte en una hiperbólica de la cuadrícula de la ciudad, lo que se debe guardar la pista de su cabeza de modo que usted puede tomar la ruta óptima de regreso a su punto de partida? En un Euclidiana cuadrada de la red, es {(int)X, (int)Y, (enum)dirección a la que se enfrenta}, y todos sabemos cómo utilizar este. Es allí cualquier hiperbólico cuadrícula en la que esta pregunta tiene una buena respuesta?

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Pregunta Original

Si consideramos el plano Euclidiano, entonces un cuadrado de la cuadrícula funciona bien con el uso de dos números enteros (las coordenadas) como una representación de los vectores que se encuentran en la red.

¿Alguien sabe de una manera similar representación agradable para trabajar en el plano hiperbólico?

Características deseables de cualquier sistema de este tipo:
$-$ Debe ser fácil para sumar dos vectores.
$-$ Debe ser fácil para ver si dos vectores son iguales.
$-$ Debe ser fácil para ver si dos vectores se encuentran cerca.
$-$ Debe ser fácil para rotar un vector por un ángulo que es una simetría de la red.
$-$ Cada punto en el plano debe estar cerca de algunos de vectores. (La cuadrícula no debería tener grandes regiones vacías.)

Tenga en cuenta que "además de" uso continuo de coordenadas sería más natural de ser definido en términos de transporte paralelo, y no es ni conmutativa ni asociativa. En una cuadrícula, sin embargo, la cuestión de la orientación debe ser abordado de manera diferente, desde el transporte paralelo a lo largo arbitrario de la cuadrícula de vectores introducir rotaciones que no son una simetría de la red, por lo que permanecen en la red, además será necesario definir el uso de algo distinto de transporte paralelo.

Desde hiperbólico cuadrículas tienen un número exponencial de puntos (como una función de la distancia desde el origen), nuestra simbólico coordenadas deberá tener una longitud proporcional a la longitud del vector.

Don Hatch tiene una página web que da algunas posibles cuadrículas.

("Fácil" significa un algoritmo eficiente que es factible con la mano, como por ejemplo cómo los algoritmos de la suma y resta utilizando el estándar de dígitos de la secuencia de la representación de los números enteros puede ser utilizado para la distancia Euclídea cuadrado de la cuadrícula. El uso de las funciones hiperbólicas de los números reales, siempre de mantener un seguimiento de los dígitos para identificar el punto de la cuadrícula más cercana, no cuenta como fácil!)

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_{Addendum:
Muchos de los lectores parecen ser alterado por un poco de voz que le decía: "Pero los vectores no tienen sentido en el plano hiperbólico!": Lo que esa voz está diciendo en realidad es que el plano hiperbólico no darle todos los lindos propiedades que se utilizan en el espacio Euclidiano o en espacios vectoriales. Así, si se define vectores como objetos que tienen propiedades específicas que se utilizan para (tales como tener una dirección que no es afectada por el transporte paralelo), luego de que la definición no corresponde a nada en el hiperbólico mundo. Usted podría utilizar el término isometría, pero que normalmente es un fijo de asignación de espacio para sí mismo, y en el plano hiperbólico la isometría correspondiente a un vector, dependerá del punto de partida. (Sin embargo, isometrías será central para cualquier solución, supongo.) Y una geodésica es una ruta fija en el espacio, no es diferente de un hiperbólico línea o segmento. El documento "¿Qué es un vector en la geometría hiperbólica?" ofrece una solución. Gyrovectors ofrecen otra. Yo deliberadamente dejarlos indefinido en esta pregunta, ya que estoy en busca de cualquier sistema viable.}

Answer 1

Donde los conceptos romper

No hay tal cosa como un transporte paralelo isometría en la geometría hiperbólica. Usted puede tener una traducción a lo largo de una geodésica eje, pero los puntos fuera del eje será transportado a lo largo de una curva. La curva y la distancia constante del eje, pero no es por sí mismo una geodésica. Por lo tanto, su concepto de un vector como una combinación de la longitud y la dirección no se traduce en el plano hiperbólico.

Transformaciones como bloques de construcción

La otra formulación que utiliza en ese comentario, "lo que se lleva de a a B", es más fácilmente aplicable. Usted puede pensar de vectores como prepresentants específicos isometrías, y se puede pensar de los puntos de la cuadrícula como la oribit de un punto dado en estas isometrías. Usted puede venir para arriba con isometrías del plano hiperbólico que dan resultados similares. En lugar de un vector que había describir esta clase de la manera que usted describiría una arbitraria isometría del plano hiperbólico. Cómo hacerlo depende mucho de las preferencias y el modelo que emplean, pero para el disco de Poincaré modelo probablemente el uso de 4 números complejos para describir una transformación de Möbius. Usted puede reducir este a 4 números reales mediante el uso de la mitad superior del plano, o por expliting la clase específica de posibles transformaciones de Möbius, y tal vez hasta 3 números sólo si dehomogenize de alguna manera. Se expresa en $\mathbb{CP}^1$, el complejo proyectiva de la línea, la concatenación de las transformaciones de Möbius es simplemente una multiplicación de matrices, así que, ¿qué sería de la adición de vectores.

Polígonos congruentes

O usted puede pensar entero de rejilla en el plano Euclidiano como una cuadrícula compuesta de cuadrados, y generalizar. En general, puede ser regular $m$-ágonos, y en cada esquina de la $n$ de ellos se reúnen. Tome $2m+2n<mn$ y usted está en la geometría hiperbólica. Los números de $m$ $n$ definir todos los ángulos y por lo tanto todas las longitudes así, ya que no hay una escala global isometría en la geometría hiperbólica. Este párrafo le dará una buena intuición en cuanto a lo que las cuadrículas pueden parecerse, mientras que el párrafo antes de eso te da una idea de cómo hacer los cálculos. Juntos creo que estos dos conceptos deben darle una buena caja de herramientas como usted puede esperar, dada la naturaleza de la pregunta y el tiempo que se ha quedado sin respuesta.

La representación como un grupo de

Aquí es algo que yo hago en la práctica: tomar los polígonos descritos anteriormente, y partirlos a lo largo de sus ejes de simetría para obtener primaria de los triángulos rectángulos. Ahora usted puede tomar un solo de estos triángulos, etiqueta de sus bordes $a$, $b$ y $c$, y obtener el triángulo de su tessalation el uso de una combinación de estas reflexiones (ver mi avatar). Esto corresponde a una finitely presentada grupo: $$\left<a,b,c\;\middle|\;1=a^2=b^2=c^2=(ab)^2=(bc)^m=(ca)^n\right>$$ Después de eso, usted puede hacer los cálculos en ese grupo. El problema de la comparación de dos etiquetas corresponde a la palabra problema en este grupo, que, de hecho, puede ser resuelto mediante el cálculo de una forma canónica mediante un autómata de estado finito determinista obtenido a partir de una cadena de reescritura del sistema mediante la aplicación de la Knuth-Bendix procedimiento. Puede haber una ligera modificación necesaria si se quiere etiquetar los vértices en lugar de triángulos, pero en general este enfoque debe trabajar para la tessalations se hace referencia (es decir, aquellos por Don Hatch). Estoy escribiendo grandes porciones de este como parte de mi tesis de Doctorado, por lo que probablemente post en un seguimiento de este día.