Probabilidad cero e imposibilidad

Question

He leído un comentario en esta pregunta :

Hay muchos acontecimientos que pueden ocurrir y que tienen una probabilidad cero.

Esto me recuerda que he visto antes un dicho similar en otros lugares, y nunca he podido encontrarle sentido. Así que me preguntaba

1. si probabilidad cero e imposibilidad significan lo mismo?
2. si un evento con probabilidad cero no significa que el evento sea imposible de ocurrir, ¿cómo la teoría de la probabilidad representa/describe la imposibilidad?

Gracias y saludos.

Answer 1

Dos escuelas

Creo que el quid de la cuestión es qué probabilidad realmente es :

• La visión bayesiana - Las probabilidades son medidas de confianza o creencia (personal), así que es bastante obvio por qué un evento con probabilidad cero no es lo mismo que un evento imposible. Pero quizás esta no sea una respuesta tan satisfactoria.
• La visión frecuentista - Las probabilidades son la frecuencia asintótica de los sucesos a medida que el número de ensayos independientes tiende a infinito. Aquí vemos de nuevo que algo que ocurre con probabilidad cero no es lo mismo que algo imposible; es simplemente algo que ocurre con tan poca frecuencia que el numerador en $\dfrac{\text{occurences}}{\text{trials}}$ está dominado por el denominador.

Técnicamente hablando

Dejando a un lado estas cuestiones filosóficas, también hay que discutir una cuestión técnica. Según la formulación teórica habitual de la teoría de la probabilidad, tenemos un espacio muestral $\Omega$ y una familia $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(\Omega)$ de eventos (subconjuntos medibles de $\Omega$ ), y la probabilidad de un evento $A \in \mathcal{F}$ es su medida $\mathbb{P}(A)$ . No hay nada en los axiomas de la teoría de la medida que diga que un conjunto no vacío debe tener una medida no nula; y si interpretamos $\mathcal{F}$ como el conjunto de todos los sucesos posibles, está claro que un suceso imposible no es lo mismo que un suceso de probabilidad cero.

Ejemplo

Para dar un ejemplo concreto, consideremos una variable aleatoria $X$ que se distribuye uniformemente en el intervalo $[0, 1]$ . Aunque $\mathbb{P}[X \in (a, b)] = b - a$ para todos $(a, b) \subset [0, 1]$ los axiomas de la probabilidad nos obligan a concluir que $\mathbb{P}[X = x] = 0$ para cualquier individual $x \in [0, 1]$ porque si $\mathbb{P}[X = x] = \varepsilon > 0$ porque $X$ está uniformemente distribuido, por la aditividad de las probabilidades de los eventos disjuntos, estaríamos obligados a concluir que $[0, 1]$ contiene como máximo $\frac{1}{\varepsilon}$ (¡un número finito!) puntos, lo cual es absurdo.

Answer 2

He tenido algo de suerte leyendo y escribiendo a capas. Específicamente, tengo código que leerá una capa shapefile que contiene polilíneas y la salida de la geometría de cada característica a los archivos de texto (utilizado como entrada para un modelo antiguo).

name     = layer.name()
provider = layer.dataProvider()
feat     = QgsFeature()

# Now we can loop through all the defined features
while provider.nextFeature(feat):

    # Get layer attributes               
    attrs = feat.attributeMap()
    for (k,attr) in attrs.iteritems():
        if k == 0:
            attrOne = attr.toString()
        elif k == 1:
            attrTwo = attr.toString()
        ...

    # Gets the geometry of the feature
    geom = feat.geometry()

    # Get the coordinates of the whole line [or use asPoint()]                    
    line = geom.asPolyline()
        # all points in the line
        for point in line:
            lat = point[0]
            lon = point[1]
            # Add these to a QgsGeometry
            your_Own_QgsGeometry.add...

Esto parece que podría ser útil para obtener cada una de las características de sus capas.

Escribir en otra capa no debería ser demasiado complejo a partir de aquí. Algo así debería funcionar en teoría:

# New layer name
filename = "myNewLayer.shp"

# define fields for feature attributes
fields   = { 0 : QgsField("attrOne", QVariant.String),
             1 : QgsField("attrTwo", QVariant.String),
             2 : QgsField("...", QVariant.Int) }

# Create coordinate reference system as WGS84
crs    = QgsCoordinateReferenceSystem(4326, QgsCoordinateReferenceSystem.PostgisCrsId)

# Create the vector layer
writer = QgsVectorFileWriter(filename, "CP1250", fields, QGis.WKBLineString, crs)

# Create some features
feat = QgsFeature()
feat.addAttribute(0, QVariant(runway))
feat.addAttribute(1, QVariant(arriveDepart))
feat.addAttribute(2, QVariant(subTrack))

# Add your geometry
feat.setGeometry(your_Own_QgsGeometry)

# Add the features
writer.addFeature(feat)

# Add it to QGIS project
self.iface.addVectorLayer(filename, "MyLayerName", "ogr")

Desde aquí deberías poder obtener los datos de cada característica y escribir nuevas características en una nueva capa.

Dan

Answer 3

Los matemáticos suelen formalizar la probabilidad utilizando la noción de espacio de probabilidad y la teoría de la medida. En este formalismo es posible que un evento tenga probabilidad $0$ sin ser el evento vacío. Tal vez el ejemplo "realista" más sencillo (y uso la palabra de forma imprecisa) de un suceso de este tipo sea el suceso de sacar sólo cara infinitas veces. Este suceso tiene una probabilidad $0$ pero no está vacío, que es lo que se podría llamar una definición formal de "imposible".

El espacio de probabilidad subyacente es el conjunto de formas posibles de lanzar una moneda infinitas veces. Un ejemplo de evento imposible aquí es que se lance, digamos, gato. La moneda sólo tiene un lado de cara y otro de cruz; no tiene un lado de gato, por lo que lanzar el gato es imposible.

(Es discutible si este formalismo dice algo razonable sobre el mundo real. En la práctica, los sucesos de probabilidad suficientemente pequeña ya son imposibles. Lo anterior es sólo una afirmación sobre un determinado formalismo matemático que ha demostrado ser útil en ciertos contextos. En matemáticas, queremos demostrar afirmaciones sobre alguna clase de objetos. A veces podemos demostrar que la afirmación se cumple con probabilidad $1$ pero esto no implica que sea válida para todos los objetos, y como en realidad nos interesa todo objetos esta distinción es realmente necesaria en matemáticas).

Answer 4

Dejemos que $A$ ser un evento, $\Pr$ sea la medida de probabilidad.

$A$ tiene probabilidad cero si $\Pr(A) = 0$ .

$A$ es imposible si $A=\emptyset$ .

La imposibilidad implica una probabilidad nula, pero lo contrario es falso. Consideremos la línea real $\mathbb{R}$ si seleccionas al azar un número $x$ la probabilidad de que $x=0$ es $0$ pero no es imposible. De hecho, la probabilidad de que $x$ pertenece a algún conjunto contable, por ejemplo $\mathbb{Q}$ también es $0$ .

Desde un punto de vista puramente matemático, la imposibilidad es simplemente una afirmación más fuerte, por lo que la imposibilidad no puede ser descrito por una medida de probabilidad. Sin embargo, otra forma de pensar podría arrojar algo de luz. Es decir, si la probabilidad de que algo exista tiene una probabilidad mayor que $0$ entonces existe. Esta noción se ha utilizado para algunos argumentos matemáticos.

Answer 5

La teoría de la probabilidad es un tema abstracto, que no se limita al mundo real. En los casos en que es limitado al mundo real, un evento de probabilidad cero no ocurrirá. Pero la base abstracta de los casos del mundo real permite que se produzcan sucesos de probabilidad cero; cuando se traducen estos sucesos abstractos en sucesos físicamente detectables, sus probabilidades se vuelven distintas de cero.