Conciliación de las notaciones de los modelos mixtos

Question

Estoy familiarizado con la notación como:

\begin {align} y_{ij} &= \beta_0 + \beta_i x_{ij} + u_j + e_{ij} \\ &= \beta_ {0j} + \beta_i x_{ij} + e_{ij} \end {align} donde $\beta_{0j}=\beta_{0}+u_j$ y

\begin {align} y_{ij} &= \beta_0 + \beta_1 x_{ij} + u_{0j} + u_{1j} x_{ij} + e_{ij} \\ &= \beta_ {0j} + \beta_ {1j} x_{ij} + e_{ij} \end {align} donde $\beta_{0j}=\beta_{0}+u_{0j}$ y $\beta_{1j}=\beta_1+u_{1j}$

para un modelo de interceptos aleatorios y un modelo de pendiente aleatoria + interceptos aleatorios, respectivamente.

También he encontrado esta notación matricial/vectorial, que me han dicho que es "notación de modelos mixtos para adultos" (según mi hermano mayor):

$$ \mathbf{y}=\mathbf{X\beta} + \mathbf{Z b} + \mathbf{e} $$ donde $\mathbf{\beta}$ son los efectos fijos y $\mathbf{b}$ son los efectos aleatorios.

Si he entendido bien, esta última notación es una notación más general para las primeras, que son versiones específicas de las segundas.

Me gustaría ver cómo se puede derivar lo primero de lo segundo.

Answer 1

Consideramos un modelo mixto con pendientes e interceptos aleatorios. Dado que sólo tenemos un regresor, este modelo puede escribirse como $$ y_{ij}= \beta_0 + \beta_1 x_{ij} + u_{0j}+u_{1j}x_{ij}+\epsilon_{ij}, $$ donde $y_{ij}$ denota el $i$ -Cuarta observación del grupo $j$ de la respuesta, y $x_{ij}$ y $\epsilon_{ij}$ el predictor respectivo y el término de error.

Este modelo puede expresarse en notación matricial como sigue:

$$\mathbf{Y}=\mathbf{X}\beta + \textbf{Zb} + \epsilon,$$ lo que equivale a

$$\mathbf{Y}= \begin{bmatrix} \mathbf{X} & \textbf{Z} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta\\ \mathbf{b} \end{bmatrix}+ \epsilon $$

Supongamos que tenemos $J$ grupos, es decir $j=1,\dots,J$ y que $n_j$ denotan el número de observaciones en el $j$ -grupo. Partiendo de cada grupo, podemos escribir la fórmula anterior como

$$\begin{bmatrix} \mathbf{Y_1} \\ \mathbf{Y_2} \\ \vdots \\ \mathbf{Y_J} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{X_1} & \mathbf{Z_1} & 0 & 0 & 0 \\ \mathbf{X_2} & 0 & \mathbf{Z_2} & 0 & 0 \\ \vdots & & & \dots & \\ \mathbf{X_J} & 0 & 0 & 0 & \mathbf{Z_J} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta \\ b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_J \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} \epsilon_1 \\ \epsilon_2 \\ \vdots \\ \epsilon_J \end{bmatrix}$$

donde $\mathbf{Y_j}$ es un $n_j \times 1 $ matriz que contiene todas las observaciones de la respuesta para el grupo $j$ , $\mathbf{X_j}$ y $\mathbf{Z_j}$ son $n_j \times 2 $ matrices de diseño en este caso y $\epsilon_j$ es de nuevo un $n_j \times 1 $ matriz.

Al escribirlos, lo hemos hecho:

$\mathbf{Y_j} = \begin{bmatrix} y_{1j}\\ y_{2j}\\ \vdots \\ y_{n_jj} \end{bmatrix}, \mathbf{X_j}=\mathbf{Z_j}=\begin{bmatrix} 1 & x_{1j} \\ 1 & x_{2j} \\ \vdots & \vdots \\ 1 & x_{n_jj} \end{bmatrix}$ y $\epsilon_j = \begin{bmatrix} \epsilon_{1j}\\ \epsilon_{2j}\\ \vdots \\ \epsilon_{n_jj} \end{bmatrix}.$

Los vectores de coeficientes de regresión son entonces

$\beta = \begin{pmatrix} \beta_0 \\ \beta_1 \end{pmatrix}$ , $b_j=\begin{pmatrix} u_{0j}\\ u_{1j} \end{pmatrix}$

Para ver que las dos formulaciones del modelo son efectivamente equivalentes, observemos cualquiera de los grupos (digamos el $j$ -a).

$$ \mathbf{Y_j} = \mathbf{X_j} \beta + \mathbf{Z_j}b_j + \epsilon_j$$

Aplicando las definiciones anteriores, se puede demostrar que el $i$ -La fila número uno del vector resultante es simplemente $$ y_{ij}= \beta_0 + \beta_1 x_{ij} + u_{0j}+u_{1j}x_{ij}+\epsilon_{ij}, $$ donde $i$ oscila entre $1$ a $n_j$ .