¿Qué sucede cuando la normal a la superficie es igual a cero?

Question

En Geometría Diferencial siempre estamos dado que las superficies debe ser regular, es decir, la derivadas parciales en todos los puntos son linealmente independientes, o la normal no es cero.

Me sale que el espacio de la tangente no está bien definido cuando las derivadas parciales son linealmente dependientes. Pero no puedo encontrar ninguna explicación de lo que está sucediendo a la superficie de la misma. Si alguien puede dar más geométrico/ intuitivo de la razón por la que las superficies deben ser regulares que sería genial!

Answer 1

Considere la posibilidad de la "superficie", definida por

$$ S(x, y) = (x^3, y, 1). $$ Puesto que la imagen es sólo el avión $z = 1$, es claramente una agradable superficie, aunque $\partial S/\partial x$ es cero en $x = 0$. En este caso, la declaración de "el espacio de la tangente no está bien definido cuando los parciales son dependientes es incorrecta." Es un poco más sutil que eso. Pero su declaración no DEMASIADO mal, y es factible que uno ir con, por ahora.

Luego de considerar el siguiente: $$ S(x, y) = (x^3, |x^3|, y) $$ Esta "superficie" se parece a una extrusión de la letra "V", pero su $x-$ $y-$ parciales se definen y suave todo el mundo. Es más o menos el último ejemplo, con el problema con el cero-deriv se muestra fuera en lugar de ocultar. Y es por eso que usted necesita un lugar bien definido normal.

Answer 2

Geométricamente, la superficie tiene un hueco, o degenera a una línea o curva, perdiendo precisamente el $2$-dimensionalidad que quieres estudiar. Por ejemplo, considere el $$f(u) = \begin{cases} e^{-1/u} , &\text{if }u > 0 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$

y la trama utilizando algún programa: $${\bf x}(u,v) = (f(u)\cos v, f(u)\sin v, u)$$

Este no es regular debido a que $f$ puede ser cero. Las cosas van mal en el $z$-eje, que es parte de ella.