¿Por qué la distancia euclidiana para el espacio n sólo incluye cuadrados?

Question

Estoy empezando a aprender topología, y hay algo que me he dado cuenta que me ha estado dando la lata desde aproximadamente el octavo grado.

¿Por qué la distancia euclidiana en un espacio de N dimensiones implica un montón de cuadraturas y raíces cuadradas?

Lo entiendo.

1. En el espacio 1 la "distancia" es $\sqrt{\Delta x^2}$ es que es justo $\Delta x$ .
2. En dos espacios, estás haciendo el teorema de Pitágoras.

3. En el espacio 3, lo visualizo así: quieres encontrar la distancia $\Delta x, \Delta y, \Delta z$ así que tú:

   • deje $a = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$ , $a$ es la distancia a lo largo del $x, y$ avión
   • la distancia total es $\sqrt{a^2 + \Delta z^2}$
   • lo anterior se amplía a $\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}$

Para generalizar, ante $n$ dimensiones, elige dos, encuentra la distancia a lo largo de esas dos dimensiones, coloca un punto allí y repite la operación (hasta que sólo te quede una dimensión, momento en el que habrás terminado).

Sin embargo, no entiendo por qué distancia en el espacio n requiere elevar al cuadrado repetidamente. ¿No debería haber una fórmula de distancia que requiriera la cubicación y la raíz cúbica en el espacio tres, o la cuádruple (¿existe eso?) y la raíz cuádruple en el espacio cuatro, y así sucesivamente? En aras de la simetría, parece extraño que los cuadrados reciban un tratamiento especial.

Sé que es una pregunta muy filosófica, pero ¿hay alguna forma de hallar distancias euclidianas en el n-espacio que implique tomar la enésima potencia y la enésima raíz en lugar de proyectar repetidamente hacia abajo una dimensión?

Answer 1

Existen otras métricas además de la euclidiana. En particular, se puede definir la " $\ell^p$ norma" para cualquier $p \ge 1$ donde la distancia desde $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ a $(y_1, y_2, \ldots, y_n)$ es $(|x_1 - y_1|^p + |x_2 - y_2|^p + \ldots + |x_n - y_n|^p)^{1/p}$ . La particularidad de la métrica euclidiana es que permite rotaciones a través de ángulos arbitrarios.

Answer 2

Una explicación con cierto sabor algebraico es mediante transformaciones lineales y productos internos estos productos internos $\langle\cdot,\cdot\rangle$ son objetos fundamentales para los espacios vectoriales, ya que pueden medir cuantitativamente la independencia lineal a través de la bilinealidad. Suponiendo una base para nuestro espacio, podemos definir el producto interior como el producto punto $x\cdot y=\sum_ix_iy_i$ es el único producto interior para el que $\langle e_i,e_i\rangle=1$ para cada vector de base $e_i$ . Sin embargo, ser lineal en ambos argumentos significa que la multiplicación escalar da $\langle \lambda v,\lambda v\rangle=\lambda^2\langle v,v\rangle$ . Para forzar que esto sea multiplicativo escalar necesitamos establecer $\|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle}$ de modo que $\|\lambda v\| = |\lambda|\,\|v\|$ .

Así que, en última instancia, esta forma de explicación se reduce a: una métrica invariante de traslación equivale a tener una norma sobre el espacio, y la norma euclídea será un caso especial de "medida" de la independencia lineal de un vector consigo mismo, en el sentido de un producto interior, por lo que la presencia de la distinguida potencia/raíz de dos se debe a que uno y uno (un vector y su copia) hacen dos.