Supongamos que $f: \mathbb{R^+}\to \mathbb{R}$ satisface $\lim_{x\to \infty} (f+f')(x)=0$. Mostrar que $\lim_{x\to \infty} f(x)=0$.

Question

Supongamos que $f: \mathbb{R^+}\to \mathbb{R}$ satisface $\lim_{x\to \infty} (f+f')(x)=0$. Mostrar que $\lim_{x\to \infty} f(x)=0$.

Esta es una solución que he encontrado para este problema.

Solución: Si $x=a$ está en el dominio de la función $f$, luego por la generalizada del valor medio teorema aplicado a las funciones de $e^x f(x)$ $e^x$ existe $c\in (a,x)$ tal que $\frac{e^x f(x)-e^a f(a)}{e^x -e^a}=\frac{e^c f'(c)+e^c f(c)}{e^c}.$ da $\frac{e^x}{e^x -e^a} f(x)-\frac{e^a}{e^x - e^a}f(a)=f'(c)+f(c)$. Tomando límites de $c$ tiende a infinito tenemos, $\lim_{c\to \infty}\frac{e^x}{e^x -e^a} \lim_{c\to \infty}f(x)-\lim_{c\to \infty}\frac{e^a}{e^x - e^a}\lim_{c\to \infty}f(a)=\lim_{c\to \infty}[f'(c)+f(c)]$. Pero $c\lt x$, con lo que obtenemos $1 \cdot \lim_{x\to \infty}f(x)-0\cdot f(a)=\lim_{c\to \infty}[f'(c)+f(c)].$ por lo tanto, desde el lado derecho es igual a $0$, se deduce que el $\lim_{x\to \infty}f(x)=0.$

Tomar un vistazo de cerca a esta solución, sin embargo, creo que puede no ser correcta, ya que el $c$ utilizado en la respuesta en realidad es una función de $x$ y puede no tener sentido para tomar $c\to \infty$. Quiero decir, ¿cómo sabemos que siempre habrá un $c$ mayor que cualquier número positivo? Es esta la solución correcta? Si es así, ¿cómo puede mi pregunta sea contestada? Les agradecería mucho cualquier ayuda.

Answer 1

Para solucionar el problema, en lugar de arbitrario $ a < x$ para un resultado $c\in(x,2x)$, considere la posibilidad de $x$ (en lugar de su constante $a$) y $2x$ (en lugar del su $x$); es decir, $(x,2x)$. Entonces usted consigue $c=c_x\in(x,2x)$, lo que significa que usted puede hacer $x$ ir hasta el infinito: esto implicará $c\to\infty$.

Edit: sólo corrige un problema en la prueba -- la segunda mitad, a continuación, falla, y esta respuesta como se encuentra no una buena respuesta. Puede ser un camino a seguir a través con el mismo enfoque que en el original, mediante la consideración de $x$$x+t$$x,t > 0$. Por el mismo argumento como el tuyo y el de arriba, consigue $c=c(x,t)$; la pregunta ahora es si se puede hacer $x$ $t$ ir hasta el infinito "en un disociado de la moda" para todo, para ir a través de. (Parece muy complicado para mí, aunque posiblemente factible; pero me gustaría recomendar el "diferencial de la ecuación" enfoque en el primer comentario abajo, en su lugar.)

Answer 2

Vamos $g(x) =f(x)+f'(x) $ así $g(x) \a 0 $ como $x \to \infty $.

A continuación, para cualquier $c > 0$, hay un $d(c)$ tal que $|g(x)| < c$ para $x > d(c) = d$.

Entonces $|e^x g(x)| < ce^x $ for $x > d$.

Pero $e^xg(x) =e^x(f(x)+f'(x)) =(f(x)e^x)' $ así, para $x > d$, $f(x)e^x-f(d)e^d =\int_d^x e^t g(t) dt $.

Por lo tanto, para $x > d$,

$\begin{array}\\ |f(x)e^x| &=|f(d)e^d + \int_d^x e^t g(t) dt|\\ &\le |f(d)e^d| + |\int_d^x e^t g(t) dt|\\ &\le |f(d)e^d| + |\int_d^x e^t c dt|\\ &= |f(d)e^d| + c(e^x-e^d)\\ \text{or}\\ |f(x)| &\le |f(d)e^{d-x}| + c(1-e^{d-x})\\ &< |f(d)e^{d-x}| + c\\ \end{array} $

y en el lado derecho puede hacerse arbitrariamente pequeña por primero, hacer que la $c$ pequeña y luego, haciendo $x$ grandes.

Answer 3

Deje $g(x)=f(x)e^x$. Entonces $$ g'(x)=(f(x)+f'(x))e^x $$ Por L'Hospital de la regla, tenemos $$ \lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{g(x)}{e^x}=\lim_{x\to\infty}\frac{g'(x)}{e^x}=\lim_{x\to\infty}(f(x)+f'(x))=0 $$