Esto puede ser resuelto sin tener que recurrir a método gráfico?

Question

Necesito encontrar los puntos de intersección de un círculo con un radio de $2$ y centro en $(0,0)$ y una hipérbola rectangular con la ecuación de $xy=1$. Según las declaraciones de tema ¿hay alguna manera de solucionar esto sin el método gráfico. He probado la configuración de la $y$ valores de la igualdad, pero no puedo resolver la ecuación resultante para $x $.

Answer 1

El círculo es descrito por

$$ x^2 + y^2 = 4 \etiqueta{un} $$

y la hipérbola por

$$ y = 1/x \etiqueta{b} $$

La sustitución de (b) en (a), se obtiene

$$ x^2 + \frac{1}{x^2} = 4 \quad\Rightarrow\quad x^4 - 4x^2 + 1 = 0 $$

esta es una ecuación de segundo grado en $x^2$ cuyas soluciones son

$$ x^2 = 2 \pm \sqrt{3} $$

La intersección se encuentran a continuación

$$ x = \pm(2 \pm 3^{1/2})^{1/2} \quad y = 1/x $$

Answer 2

También puede combinar las ecuaciones en completar el binomio fórmulas $$ (x+y)^2=x^2+y^2+2xy=4+2=6,\\ (x-y)^2=x^2+y^2-2xy=4-2=2 $$ y resolver el trivial sistema lineal para cada uno de los 4 signo combinaciones de las raíces.

Answer 3

La ecuación del círculo es $x^2 + y^2 = 4$) y la ecuación de la hipérbola es $xy=1$

Así que el punto de intersección sería una solución común a

$xy =1$

$x^2 + y^2 = 4$

así

$y = 1/x$

$x^2 + \frac 1{x^2} = 4$

$x^4 +1 = 4x^2$

$x^4 - 4x^2 + 1 = 0$

$x^2 = \frac {4 \pm \sqrt {12}}2$

$x^2 = 2 \pm \sqrt 3$

$x = \pm \sqrt{2 \pm \sqrt{3}}$

$y = 1/x = \pm \frac 1{\sqrt{2 \pm \sqrt{3}}}$

$= \pm \frac 1{\sqrt{2 \pm \sqrt{3}}}\frac {\sqrt {2\mp \sqrt {3}}}{\sqrt {2\mp\sqrt{3}}} $

$=\pm \frac{\sqrt {2\mp \sqrt {3}}}{\sqrt {4-3}}=\pm {\sqrt {2\mp \sqrt {3}}}$

Así que hay cuatro puntos: $(\sqrt{2 + \sqrt{3}},{\sqrt{2 - \sqrt{3}}});(\sqrt{2 - \sqrt{3}},{\sqrt{2 +\sqrt{3}}});(-\sqrt{2 + \sqrt{3}},-{\sqrt{2 - \sqrt{3}}});(-\sqrt{2 - \sqrt{3}},-{\sqrt{2 + \sqrt{3}}});$

Answer 4

Por trigonometría:

Cualquier punto en el círculo tiene coordenadas $(2\cos t,2\sin t)$. Luego de conectar en la otra ecuación

$$4\sin t\cos t=1,$$

$$\sin 2t=\frac12,$$

dando

$$t\in{\frac\pi{12},\frac{5\pi}{12},\frac{13\pi}{12},\frac{17\pi}{12}}.$$

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Por trigonometría hiperbólica:

Deje $x=e^t,y=e^{-t}$ ser un paramétricas de la solución de la ecuación de la hipérbola. (Hay otra rama con signos opuestos.)

Entonces, por la ecuación del circulo

$$x^2+y^2=e^{2t}+e^{-2t}=2\cosh2t=4$$ and $$t=\pm\frac12\text{arcosh }2=\pm\frac12\ln(2+\sqrt3)=\pm\ln\sqrt{2+\sqrt3}.$$

Answer 5

Resolver x^2+y^2=4 xy=1

tenemos 4 soluciones para x,y en el 1er y 3er cuadrante y simétricos alrededor 0,0

(sqrt(6)+sqrt(2))/2,(sqrt(6)-sqrt(2))/2

(sqrt(6)-sqrt(2))/2,(sqrt(6)+sqrt(2))/2

-(sqrt(6)+sqrt(2))/2,-(sqrt(6)-sqrt(2))/2

-(sqrt(6)-sqrt(2))/2,-(sqrt(6)+sqrt(2))/2