¿Mide la entropía el trabajo extraíble?

Question

La entropía tiene dos definiciones, que provienen de dos ramas diferentes de la ciencia: la termodinámica y la teoría de la información. Sin embargo, se cree que ambas coinciden. ¿Es cierto?

La entropía, vista desde la teoría de la información, mide nuestra ignorancia sobre un sistema. La entropía, vista desde la termodinámica, mide la cantidad de trabajo extraíble. Una es epistemológica, la otra es ontológica. Sin embargo, ambas pueden coincidir, si la entropía mide realmente la cantidad de trabajo extraíble, teniendo en cuenta los conocimientos de cada uno sobre el sistema.

Pero, ¿es esto cierto? ¿La entropía de Shannon calculada sobre la distribución de probabilidad de un sistema físico expresa la cantidad de trabajo que podemos obtener de él? ¿Cómo aumentan nuestros conocimientos la cantidad de trabajo extraíble? ¿Es el principio de Landauer lo suficientemente potente como para establecer la conexión?

Answer 1

La respuesta es no. Consideremos un sistema que tiene un estado básico degenerado, de manera que la matriz de densidad es una mezcla de dos estados propios del estado básico. Esto tiene una entropía de Shannon no nula, pero no se puede extraer ningún trabajo de ella. En general, la entropía termodinámica no está bien definida para los sistemas en desequilibrio, pero la entropía de Shannon sí.

Mi opinión es que la entropía termodinámica y la entropía de Shannon son dos cosas conceptualmente distintas. Coinciden en una gran variedad de circunstancias, pero no siempre. Ni siquiera tengo claro si los casos en los que coinciden en la teoría clásica y cuántica son coincidencias necesarias. Puede ser posible llegar a una teoría física bien definida en la que nunca coincidan, por ejemplo, en el conjunto convexo famework para las teorías probabilísticas generalizadas estudiadas en la comunidad de los fundamentos cuánticos.

Answer 2

ACTUALIZACIÓN: A continuación respondo afirmativamente a la primera pregunta del post (¿son los dos tipos de entropía iguales hasta una constante). Esto ha provocado cierta confusión, ya que tanto Matt como John dieron respuestas diciendo que "la respuesta es no", sin embargo creo que se refieren al título "¿Mide la entropía el trabajo extraíble?". Aunque el autor utiliza los dos indistintamente, la propia pregunta contiene una premisa falsa: a saber, que la entropía física es una medida del trabajo extraíble ("La entropía, vista desde la termodinámica, mide la cantidad de trabajo extraíble"). Esto simplemente no es cierto en el caso general, aunque puede ser cierto para ciertos casos especiales, como muestra el contraejemplo de Matt. Un caso concreto de esto es una pelota colocada en cualquier lugar de una superficie plana. Si la pelota se coloca al azar, no se puede extraer más trabajo que si se conoce su ubicación.

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La respuesta es sí, los dos tipos de entropía son iguales hasta un factor constante de $k_B \log 2$ (que es también el origen del principio de Landauer). Una forma de ver esto es a través del demonio de Maxwell. En particular, a través del motor de Szilard, un motor térmico idealizado que utiliza un gas de una sola partícula. Entonces se introduce una partición, que efectivamente divide el gas en dos regiones, de las cuales sólo una contiene la partícula. Ahora bien, si supieras en qué lado de la partición se encuentra la partícula, podrías utilizar la diferencia de presión para extraer trabajo, y si no lo sabes no puedes, ya que no sabes en qué dirección empujará.

Ahora la conexión con la teoría de la información se produce cuando medimos en qué lado de la partición se encuentra la partícula. De este modo, ganamos una cierta cantidad de entropía (y, por tanto, de información) en el registro que contiene el resultado de nuestra medición. Pero tener esta información disminuye la entropía del gas. Y por lo tanto se puede ir y venir entre la entropía de la información y la entropía física.

Hay una literatura bastante extensa sobre el asunto, así que en lugar de intentar darte una lista, te señalaré un artículo de revisión sobre el Demonio de Maxwell y la teoría de la información de hace unos años: arXiv:0707.3400 ,

Answer 3

Como la palabra "trabajo" tiene múltiples significados, la respuesta en general es "no".

Normalmente, el primer significado que se enseña a los estudiantes es el de termodinámico, pero (como demostró Dirac) un significado generalizado (que incluye el trabajo termodinámico como caso particular) equivale a:

Dada una clase de procesos dinámicos, el "trabajo" es cualquier función potencial que describa de forma natural lo que esa clase consigue.

Concretamente, en el contexto de la separación de isótopos, Dirac estableció que el potencial de trabajo $\mathcal{V}_c$ que se asocia naturalmente a una concentración de isótopos $c$ viene dada por

$\displaystyle\qquad \mathcal{V}_c(c) = (2 c' - 1) \log\left[\frac{c'}{1-c'}\right]$

o, de forma equivalente, para la polarización de espín $p = 2 c - 1$ la función de valor de Dirac $\mathcal{V}_p$ asociado al transporte separativo de la polarización de espín es

$\displaystyle\qquad\mathcal{V}_p(p') = \mathcal{V}_c(c')\big|_{c' = (1+p')/2} = p' \log\left[\frac{1+p'}{1-p'}\right]$

El punto clave es que la función de valor de Dirac es no proporcional a una diferencia de entropía (como es evidente porque $0\le \mathcal{V}_p(p') \lt \infty$ mientras que la entropía por mol oscila en un rango finito).

Además, el trabajo de Dirac asociado a la separación no puede invertirse para devolver el trabajo mecánico, ya que el proceso de separación es entrópicamente irreversible. No obstante, el trabajo de Dirac tiene un valor económico considerable y, de hecho, define la unidad de valor de un mercado global de unidades de trabajo separadas (SWUs, pronunciado "swooz").

Para una derivación de la función de trabajo de Dirac, véase la nota técnica del propio Dirac (no publicada) "Teoría de la separación de isótopos por métodos estadísticos" ( alrededor de 1940), que aparece en su Obras completas o, alternativamente, el artículo de estudio de Donald Olander "Technical Basis of the Gas Centrifuge" (1972), o en general cualquier libro de texto sobre la separación de isótopos.