Por Legendre's 3 cuadrados teorema, un número $n = x^2 + y^2 + z^2$ puede escribirse como la suma de tres cuadrados si $n \neq 4^a(8b+7)$ . En mi caso, elijo $$n = 3^{10} \equiv (3^2)^5 \equiv 1 \mod 8$$ que es seguro. En ese caso, ¿hay alguna forma de encontrar estos enteros por inducción? Tal vez pueda probar: $$ 3 = 1^2 + 1^2 + 1^2 $$ Esto anima a probar el caso de $n=9$ : Eso es aún más fácil ya que es un cuadrado perfecto: $$ 9 = 3^2 + 0^2 + 0^2 $$ Vayamos un paso más allá. $n = 3^3 = 27$ . No hay manera de combinar mis dos respuestas anteriores para obtener una tercera solución. Sin embargo, buscando: $$ 27 = 5^2 + 1^2 + 1^2 = 3^2 + 3^2 + 3^2$$ y $n = 81 = 3^4$ es otro cuadrado perfecto (de hecho una 4ª potencia perfecta) pero puede haber otras soluciones: $$ 81 = 9^2 + 0^2 + 0^2 = \dots $$ ¿Es posible llegar hasta $n = 3^{10}$ de esta manera. ¿Existe un enfoque inductivo para resolver: $$ 3^n = x^2 + y^2 + z^2 $$ para todos impar y incluso poderes $n$ ?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
He dado el método para $$ a^2 + b^2 + c^2 = 3 m^2 $$ en ¿Cuándo una solución paramétrica genera todas las soluciones posibles?
Muy orgulloso de eso, no había estado seguro de cómo retocar a Jones y Pall, resulta que no hay problema ya que sólo tenemos que expresar el $3$ como la norma de cualquiera de los cuaterniones $i+j+k$ o de $-i-j-k,$ por lo que no hay pérdida en sólo tomar la primera y decir que podríamos negar $a,b,c$ sin dañar nada.
Dado impar positivo $m,$ todo primitivo soluciones a $$ a^2 + b^2 + c^2 = m^2 $$ vienen de encontrar primero todo $$ w^2 + x^2 + y^2 + z^2 = m, $$ entonces escribiendo la fórmula de Lebesgue (V. A. Lebesgue) , $$ a = w^2 + x^2 - y^2 - z^2, $$ $$ b = 2(wz+xy), $$ $$ c = 2(-wy + xz). $$ Una discusión completa es el Teorema 3 de Jones y Pall
Bien. Es bastante fácil programar lo que se suele llamar la identidad de Lebesgue. Aquí están todas las soluciones primitivas para $a^2 + b^2 + c^2 = 3 m^2,$ para $m = 1, 3, 9, 27, 81, 243.$ Tomo $a,b,c$ o todas positivas o todas negativas, $\gcd(a,b,c) = 1$ como he mencionado, y $|a| \geq |b| \geq |c|.$ Todos son impar, por supuesto, revisa el mod 8.
1 1 1 1 check 0 w x y z 1 0 0 0
3 -5 -1 -1 check 0 w x y z 0 1 -1 -1
9 11 11 1 check 0 w x y z 0 2 2 1
9 -13 -7 -5 check 0 w x y z 0 2 -1 -2
27 -35 -29 -11 check 0 w x y z 1 -3 4 -1
27 -35 -31 -1 check 0 w x y z 1 -1 3 -4
27 37 23 17 check 0 w x y z 5 1 0 1
27 43 13 13 check 0 w x y z 5 0 -1 1
27 -43 -17 -7 check 0 w x y z 1 -3 4 1
81 103 85 43 check 0 w x y z 2 6 5 4
81 -103 -95 -7 check 0 w x y z 1 0 4 -8
81 -113 -83 -5 check 0 w x y z 2 -6 5 4
81 115 77 23 check 0 w x y z 6 -4 -5 -2
81 -121 -71 -1 check 0 w x y z 0 4 -1 -8
81 125 47 43 check 0 w x y z 6 5 2 4
81 -127 -55 -23 check 0 w x y z 1 4 0 -8
81 -131 -41 -29 check 0 w x y z 2 3 2 -8
81 131 49 11 check 0 w x y z 4 -6 -5 -2
81 133 37 25 check 0 w x y z 5 6 2 4
81 137 25 17 check 0 w x y z 7 -4 -4 0
81 139 19 1 check 0 w x y z 8 2 -2 3
81 91 89 59 check 0 w x y z 8 -2 -3 -2
81 -95 -73 -73 check 0 w x y z 0 7 -4 -4
243 -257 -253 -217 check 0 w x y z 0 7 5 -13
243 -263 -263 -197 check 0 w x y z 1 -11 11 0
243 -265 -241 -221 check 0 w x y z 0 11 -1 -11
243 271 245 209 check 0 w x y z 9 8 7 7
243 283 263 167 check 0 w x y z 12 7 5 5
243 -289 -251 -175 check 0 w x y z 1 -12 7 7
243 -295 -241 -179 check 0 w x y z 1 3 8 -13
243 299 239 175 check 0 w x y z 8 9 7 7
243 299 289 65 check 0 w x y z 15 4 -1 1
243 301 211 205 check 0 w x y z 7 -9 -8 -7
243 301 289 55 check 0 w x y z 11 9 5 4
243 -305 -211 -199 check 0 w x y z 1 8 3 -13
243 -307 -283 -53 check 0 w x y z 3 -11 7 8
243 307 287 23 check 0 w x y z 4 11 9 5
243 311 265 101 check 0 w x y z 13 -4 -7 -3
243 317 257 103 check 0 w x y z 13 7 3 4
243 -319 -269 -55 check 0 w x y z 3 -11 8 7
243 341 215 121 check 0 w x y z 3 11 8 7
243 -341 -245 -29 check 0 w x y z 4 -5 11 -9
243 -349 -235 -11 check 0 w x y z 1 -8 3 13
243 353 167 157 check 0 w x y z 3 -11 -8 -7
243 353 223 53 check 0 w x y z 15 1 -4 1
243 -355 -191 -121 check 0 w x y z 3 -7 13 -4
243 -359 -205 -79 check 0 w x y z 3 1 8 -13
243 -361 -155 -151 check 0 w x y z 3 -4 13 -7
243 361 199 85 check 0 w x y z 11 -7 -8 -3
243 365 179 109 check 0 w x y z 15 -1 -4 1
243 371 191 55 check 0 w x y z 4 -11 -9 -5
243 -373 -163 -107 check 0 w x y z 3 -8 13 -1
243 -377 -187 -7 check 0 w x y z 5 -4 11 -9
243 383 133 113 check 0 w x y z 1 12 7 7
243 -383 -173 -23 check 0 w x y z 5 -5 12 -7
243 385 169 19 check 0 w x y z 5 -11 -9 -4
243 -389 -125 -101 check 0 w x y z 4 3 7 -13
243 -389 -151 -55 check 0 w x y z 1 8 -3 -13
243 397 133 43 check 0 w x y z 13 -5 -7 0
243 403 97 73 check 0 w x y z 5 12 5 7
243 407 107 7 check 0 w x y z 0 13 7 5
243 409 95 29 check 0 w x y z 7 -11 -8 -3
243 -419 -31 -25 check 0 w x y z 3 -7 13 4
243 419 35 19 check 0 w x y z 12 -7 -7 1
Espero que no te importe, pero reescribiré tu ecuación como $$x^2+y^2+z^2=n=3^q$$ ya que ha dado dos significados a $n$ .
Voy a mostrar todas las soluciones en la forma $(q,n,x,y,z)$
Has encontrado $(1,3,1,1,1)$ que, básicamente, establece que $3*k^2=(k^2+k^2+k^2)$ , dando, $$(3,27,3,3,3)$$ $$(5,243,9,9,9)$$ $$(7,2187,27,27,27)$$ $$(9,19683,81,81,81)$$
$(2a+1,3^{2a+1},3^a,3^a,3^a)$ con $a>=0$
También ha encontrado $(2,9,3,0,0)$ por lo que multiplicando por una constante se obtiene $$(2,9,3,0,0)$$ $$(4,81,9,0,0)$$ $$(6,729,27,0,0)$$ $$(8,6561,81,0,0)$$ $$(10,59049,243,0,0)$$
$(2b,3^{2b},3^b,0,0)$ con $b>0$
Existe una solución paramétrica estándar para la suma de tres (o más) cuadrados igual a un cuadrado. En la notación de este problema, una solución existente $(q,n,x,y,z)$ da una nueva solución, $(Q,N,X,Y,Z)$ $$Q=2q$$ $$N=3^Q$$ $$X=Abs(-x^2+y^2+z^2)$$ $$Y=2*x*y$$ $$Z=2*x*z$$
Porque los valores de $(x,y,z)$ son intercambiables, al cambiar el orden de los valores se obtienen otras dos soluciones
Aplicando esto a $(1,3,1,1,1)$ da $(2,9,2,2,1)$ . Alimentar esta nueva solución en da $(4,81,8,4,1)$ y $(4,81,7,4,4)$ y así sucesivamente.
Ahora estoy casi seguro de que hay otros patrones que se ven, para generar soluciones paramétricas y métodos, pero temo que nunca podrán formar una lista completa. Lamentablemente, no tengo tiempo para seguir buscando en la próxima semana.
Sin embargo, el esfuerzo para codificar un programa es ínfimo, por lo que tal vez este $(q,n,x,y,z)$ lista ayudará.
$$(1,3,1,1,1)$$ $$(2,9,2,2,1)$$ $$(2,9,3,0,0)$$ $$(3,27,3,3,3)$$ $$(3,27,5,1,1)$$ $$(4,81,6,6,3)$$ $$(4,81,7,4,4)$$ $$(4,81,8,4,1)$$ $$(4,81,9,0,0)$$ $$(5,243,9,9,9)$$ $$(5,243,11,11,1)$$ $$(5,243,13,7,5)$$ $$(5,243,15,3,3)$$ $$(6,729,18,18,9)$$ $$(6,729,21,12,12)$$ $$(6,729,22,14,7)$$ $$(6,729,23,10,10)$$ $$(6,729,23,14,2)$$ $$(6,729,24,12,3)$$ $$(6,729,25,10,2)$$ $$(6,729,26,7,2)$$ $$(6,729,27,0,0)$$ $$(7,2187,27,27,27)$$ $$(7,2187,33,33,3)$$ $$(7,2187,35,29,11)$$ $$(7,2187,35,31,1)$$ $$(7,2187,37,23,17)$$ $$(7,2187,39,21,15)$$ $$(7,2187,43,13,13)$$ $$(7,2187,43,17,7)$$ $$(7,2187,45,9,9)$$ $$(8,6561,54,54,27)$$ $$(8,6561,55,44,40)$$ $$(8,6561,56,49,32)$$ $$(8,6561,56,55,20)$$ $$(8,6561,56,56,17)$$ $$(8,6561,63,36,36)$$ $$(8,6561,64,41,28)$$ $$(8,6561,64,44,23)$$ $$(8,6561,64,47,16)$$ $$(8,6561,64,49,8)$$ $$(8,6561,65,44,20)$$ $$(8,6561,66,42,21)$$ $$(8,6561,68,41,16)$$ $$(8,6561,68,44,1)$$ $$(8,6561,69,30,30)$$ $$(8,6561,69,42,6)$$ $$(8,6561,72,36,9)$$ $$(8,6561,75,30,6)$$ $$(8,6561,76,23,16)$$ $$(8,6561,76,28,1)$$ $$(8,6561,78,21,6)$$ $$(8,6561,79,16,8)$$ $$(8,6561,81,0,0)$$ $$(9,19683,81,81,81)$$ $$(9,19683,91,89,59)$$ $$(9,19683,95,73,73)$$ $$(9,19683,99,99,9)$$ $$(9,19683,103,85,43)$$ $$(9,19683,103,95,7)$$ $$(9,19683,105,87,33)$$ $$(9,19683,105,93,3)$$ $$(9,19683,111,69,51)$$ $$(9,19683,113,83,5)$$ $$(9,19683,115,77,23)$$ $$(9,19683,117,63,45)$$ $$(9,19683,121,71,1)$$ $$(9,19683,125,47,43)$$ $$(9,19683,127,55,23)$$ $$(9,19683,129,39,39)$$ $$(9,19683,129,51,21)$$ $$(9,19683,131,41,29)$$ $$(9,19683,131,49,11)$$ $$(9,19683,133,37,25)$$ $$(9,19683,135,27,27)$$ $$(9,19683,137,25,17)$$ $$(9,19683,139,19,1)$$ $$(10,59049,154,143,122)$$ $$(10,59049,158,134,127)$$ $$(10,59049,158,146,113)$$ $$(10,59049,162,162,81)$$ $$(10,59049,165,132,120)$$ $$(10,59049,168,147,96)$$ $$(10,59049,168,165,60)$$ $$(10,59049,168,168,51)$$ $$(10,59049,178,127,106)$$ $$(10,59049,178,134,97)$$ $$(10,59049,178,158,49)$$ $$(10,59049,178,161,38)$$ $$(10,59049,182,130,95)$$ $$(10,59049,182,143,74)$$ $$(10,59049,182,145,70)$$ $$(10,59049,182,154,47)$$ $$(10,59049,182,158,31)$$ $$(10,59049,182,161,2)$$ $$(10,59049,189,108,108)$$ $$(10,59049,190,118,95)$$ $$(10,59049,190,143,50)$$ $$(10,59049,192,123,84)$$ $$(10,59049,192,132,69)$$ $$(10,59049,192,141,48)$$ $$(10,59049,192,147,24)$$ $$(10,59049,193,130,70)$$ $$(10,59049,193,134,62)$$ $$(10,59049,193,146,22)$$ $$(10,59049,195,132,60)$$ $$(10,59049,198,126,63)$$ $$(10,59049,202,97,94)$$ $$(10,59049,202,113,74)$$ $$(10,59049,202,127,46)$$ $$(10,59049,202,134,17)$$ $$(10,59049,204,123,48)$$ $$(10,59049,204,132,3)$$ $$(10,59049,206,113,62)$$ $$(10,59049,206,127,22)$$ $$(10,59049,207,90,90)$$ $$(10,59049,207,126,18)$$ $$(10,59049,209,118,38)$$ $$(10,59049,209,122,22)$$ $$(10,59049,214,97,62)$$ $$(10,59049,214,113,22)$$ $$(10,59049,216,108,27)$$ $$(10,59049,218,95,50)$$ $$(10,59049,218,97,46)$$ $$(10,59049,218,106,17)$$ $$(10,59049,223,74,62)$$ $$(10,59049,223,94,22)$$ $$(10,59049,225,90,18)$$ $$(10,59049,228,69,48)$$ $$(10,59049,228,84,3)$$ $$(10,59049,234,63,18)$$ $$(10,59049,237,48,24)$$ $$(10,59049,238,38,31)$$ $$(10,59049,238,46,17)$$ $$(10,59049,238,47,14)$$ $$(10,59049,238,49,2)$$ $$(10,59049,239,38,22)$$ $$(10,59049,241,22,22)$$ $$(10,59049,242,17,14)$$ $$(10,59049,242,22,1)$$ $$(10,59049,243,0,0)$$
Ofreciendo una solución especial en su caso de $3^n$ utilizando el álgebra de cuaterniones.
Cuando $n$ es impar esto es trivial.
Cuando $n$ es incluso podemos considerar el cuaternión $$ q=2+2i+j. $$ Ha reducido la norma $N(q)=2^2+2^2+1^2=9$ Así que sabemos que $N(q^\ell)=9^\ell$ para todos los enteros $\ell$ . Además, es evidente que los poderes de $q$ pertenecen al orden de Lipschitz $\mathcal O_L=\Bbb{Z}\oplus\Bbb{Z}i\oplus \Bbb{Z}j\oplus\Bbb{Z}k.$
Dejemos que $u$ sea el vector unitario $u=(2i+j)/\sqrt5$ . Porque $u^2=-1$ (se mantiene para todos los vectores unitarios $u$ ), se deduce que $\Bbb{C}_u:=\Bbb{R}\oplus \Bbb{R}u$ es un subring de los cuaterniones (en realidad es isomorfo al campo de los números complejos, pero no necesitaremos esa parte). En consecuencia, $q^\ell\in\Bbb{C}_u$ para todos los enteros $\ell$ .
Por lo tanto:
- El cuaternión $q^\ell$ tiene coeficientes enteros, porque esas potencias pertenecen al anillo $\mathcal{O}_L$ .
- Cuando escribimos la potencia del cuaternión $$q^\ell=a_\ell+b_\ell i+c_\ell j+d_\ell k$$ con algunos enteros $a_\ell,b_\ell, c_\ell, d_\ell$ Siempre tenemos $d_\ell=0$ porque $q^\ell\in\Bbb{C}_u$ .
- Así, $$9^\ell=a_\ell^2+b_\ell^2+c_\ell^2$$ es una presentación de $9^\ell$ como suma de tres enteros para todos los números naturales $\ell$ .
Así que obtenemos $$ \begin{array}{c|c|c|c} \ell&a_\ell&b_\ell&c_\ell\\ \hline 1&2&2&1\\ 2&-1&8&4\\ 3&-22&14&7\\ 4&-79&-16&-8\\ 5&-118&-190&-95\\ 6&239&-616&-308\\ 7&2018&-754&-377 \end{array} $$ Amplíalo como consideres oportuno.
La regla del producto cuaternión de $q^{\ell+1}=q\cdot q^\ell$ se traduce en la siguiente fórmula de recurrencia para los enteros $a_\ell,b_\ell,c_\ell$ :
- $a_{\ell+1}=2a_{\ell}-2b_{\ell}-c_{\ell}$ ,
- $b_{\ell+1}=2a_{\ell}+2b_{\ell}$ ,
- $c_{\ell+1}=2c_{\ell}+a_{\ell}$ ,
- Y, como extra, siempre tendremos $0=d_{\ell+1}=2c_{\ell}-b_{\ell}$ explicando la relación $b_\ell=2c_\ell$ fácilmente en la tabla anterior.
Este enfoque se generaliza obviamente a las potencias de cualquier suma de tres cuadrados: basta con disponer el coeficiente de $k$ sea cero. Por otro lado, es poco probable que esto conduzca a una lista de TODAS las presentaciones como sumas de tres cuadrados.
Continuando con mi respuesta anterior, he encontrado otras tres familias infinitas que pueden generarse a partir de soluciones pequeñas. Ahora sospecho que son sólo casos especiales de una paramétrica más general. Mis disculpas por las erratas, lo he hecho con prisas.
$$(2,9,2,2,1)$$ $$(4,81,6,6,3)$$ $$(6,729,18,18,9)$$ $$(8,6561,54,54,27)$$ $$(10,59049,162,162,81)$$ $$(2c,3^2c,3^{c-1}*2,3^{c-1}*2,3^{c-1}), c>0$$
$$(4,81,8,4,1)$$ $$(6,729,24,12,3)$$ $$(8,6561,72,36,9)$$ $$(10,59049,216,108,27)$$ $$(2+2d,3^{2+2d},3^{d-1}*8,3^{d-1}*4,3^{d-1}), d>0$$
$$(4,81,7,4,4)$$ $$(6,729,21,12,12)$$ $$(8,6561,63,36,36)$$ $$(10,59049,189,108,108)$$ $$(2+2e,3^{2+2e},3^{e-1}*7,3^{e-1}*4,3^{e-1}*4), e>0$$
Actualización 29 Nov 2016.
He asumido y utilizado el método más obvio para generar nuevas soluciones en mis respuestas, pero he olvidado detectar su generalidad; multiplicar por una constante $3^k$ .
Lo siento.
Cuando $(q,n,x,y,z)$ es una solución, entonces las nuevas soluciones vienen dadas por $$(q+2k,3^{2k}n,3^kx,3^ky,3^kz)$$
